Устойчивость линейной системы

[ewert]

Если эти с.ч. простые -- то является (не асимптотически устойчивой, конечно). Если кратные -- то смотря по тому, отвечают ли им нетривиальные жордановы клетки, или соотв. фрагменты жордановой матрицы диагональны. Т.е., говоря формально: совпадают ли их алгебраические кратности с геометрическими или нет. Если совпадают, то устойчивость есть, ну а на нет и суда нет.

А почему -- см. выше.

[мат-ламер]

Посмотрите Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. стр. 55, пример 2.

[bot]

ewert в сообщении #183110 писал(а):

http://math.nw.ru/~budylin/repl/exp/index.html
Отсюда всё и следует.

Alexey1 в сообщении #183174 писал(а):

Является ли данная система устойчивой и почему?

Функции от матриц не проходили? Жорданову форму не проходили? Проходили, но мимо?

Можно обойтись и без них. Случалось излагать метод решения в таких условиях. Но тогда хотя бы надо знать, что такое корневое подпространство и теорему о разложении n-мерного пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного преобразования.
Берём корневой базис матрицы $A$ и пусть $v$ - один из этих корневых векторов высоты $h$, соответствующий собственному значению $\lambda$. Тогда этому v сопоставляем решение системы $\dot{x}=Ax$ (проверьте, что это действительно решение):

$(v+Bv\frac{t}{1!}+B^2v\frac{t^2}{2!}+ \dots + B^nv\frac{t^{h-1}}{(h-1)!})e^{\lambda t}\quad $. Здесь $B=A-\lambda E \, - \, $ для краткости

Эти решения линейно независимы, поскольку они линейно независимы в момент времени $t=0$. В случае недействительного комплексного $\lambda$ следует заменить пару сопряжённых решений на действительную и мнимую части.

Ну а теперь представьте, что будет, если найдётся корневой вектор высоты хотя бы 2, отвечающий чисто мнимому корню $\beta i$. Тупо берём такой вектор $a+bi$ высоты 2, где хотя бы один из $Ba, Bb - $ ненулевой вектор. Пусть ненулевым будет $Ba$. Тогда берём действительную часть и в частности получаем решение $(a\cos \beta t - b\sin \beta t) + (Ba\cos \beta t - Bb\sin \beta t) \mbox{\Large t}$. Если его умножить на $\varepsilon $, то в момент $t=0$ будем сидеть в точке $\varepsilon a$, то есть сколь угодно близко к нулю. Как теперь эта точка будет раскачиваться за счёт множителя $ t$ объяснять надо?