ПОЛНЫЙ расчёт столкновения шара с неподвижной плоскостью

[Munin]

Kosmos в сообщении #182422 писал(а):

Три оси - это угловые скорости в глобальной системе координат.

Ой, а почему их три?

Kosmos в сообщении #182422 писал(а):

Кто-нибудь может прямо на картинке нарисовать как надо проецировать, чтобы получить угловые скорости в точек контакта

Вообще-то, насколько я помню, угловая скорость вокруг центра масс, и угловая скорость вокруг любой другой точки - одно и то же. То есть просто можете перенести вектор.

[Kosmos]

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #182422 писал(а):

Три оси - это угловые скорости в глобальной системе координат.

Ой, а почему их три?

Вращение вокруг осей x, y и z.

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #182422 писал(а):

Кто-нибудь может прямо на картинке нарисовать как надо проецировать, чтобы получить угловые скорости в точек контакта

Вообще-то, насколько я помню, угловая скорость вокруг центра масс, и угловая скорость вокруг любой другой точки - одно и то же. То есть просто можете перенести вектор.

Постинг Zai:

Zai писал(а):

Какой бы не был трехмерный удар, расположим на плоскости систему координат следующим образом. Ось X по направлению компоненты скорости, параллельной плоскости, ось Z вертикально вверх, Y образует правую тройку. При упругом ударе скорость после удара поменяет знак $U_z=-V_z. При этом от стенки передается импульс $F \Delta t=2mV_z. У шара до удара точка контакта движется с линейной скоростью V=\sqrt {(V_x-\omega_yr)^2+(\omega_xr)^2}. После удара эта скорость уменьшится. Линейная скорость на величину $2\mu V_z. Угловые скорости $\omega_y, \omega_x уменьшатся также на соответствующую величину. Угловая скорость $\omega_z не изменится.

Надо узнать угловые скорости относительно такой системы координат. Конкретно $\omega_x и $\omega_y .

$\omega_z не меняется, $V_y равна нулю.

$U_z=-V_z, а $V_x=\mu2V_z

[Zai]

В Вашей глобальной системе координат у Вас должно получиться что-то вроде следующих выражений.
$U_x=V_x- \frac {-2\mu V_z(V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$U_y=V_y- \frac {-2\mu V_z(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$U_z=-V_z
$\Omega_x=\omega_x-\frac {-2\mu V_z \frac {mr} J (V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_y=\omega_y- \frac {-2\mu V_z \frac {mr} J(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_z=\omega_z
Их следует проверять на корректность знаков перед каждым слагаемым и опечаток. Ума не приложу как Вы это сделаете.

[Munin]

Kosmos в сообщении #182445 писал(а):

Вращение вокруг осей x, y и z.

Простите, вращается шар вокруг одной оси - вокруг своей оси вращения. Соответственно, и вектор угловой скорости у него один.

Kosmos в сообщении #182445 писал(а):

Надо узнать угловые скорости относительно такой системы координат.

Это будет просто-напросто вектор угловой скорости, переведённый в другую систему координат.

[Kosmos]

Zai писал(а):

В Вашей глобальной системе координат у Вас должно получиться что-то вроде следующих выражений.
$U_x=V_x- \frac {-2\mu V_z(V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$U_y=V_y- \frac {-2\mu V_z(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$U_z=-V_z
$\Omega_x=\omega_x-\frac {-2\mu V_z \frac {mr} J (V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_y=\omega_y- \frac {-2\mu V_z \frac {mr} J(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_z=\omega_z
Их следует проверять на корректность знаков перед каждым слагаемым и опечаток. Ума не приложу как Вы это сделаете.

V - это линейная скорость до удара, а U - линейная после удара, $\omega - это угловая скорость до удара, а $\Omega - угловая после удара, в описанной вами выше системе координат, да?

Возвращаясь к картинке, я не знаю как перевести угловые скорости в эту систему координат.



Могу рассказать, как перевести вектор скорости из глобальной в вашу систему координат.

Сначала проецируем вектор скорости (белый) на вектор перпендикулярный плоскости (салатовый). Длина полученного вектора - это Vz.

Далее находим вектор перпендикулярный белому и салатовому, назовём его V1. Далее находим вектор перпендикулярный салатовому и V1, назовём его V2. Тогда V2 будет параллелен плоскости об которую ударяется шар, и в тоже время лежать в плоскости салатового и белого вектора. Далее проецируем белый вектор на V2, и получаем вектор V3, его длина и будет Vx. А Vy в этом случае всегда будет равен нулю, что упрощает задачу.

А вот как спроецировать угловые скорости в эту систему координат - не очень понимаю.

Добавлено спустя 6 минут 29 секунд:

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #182445 писал(а):

Вращение вокруг осей x, y и z.

Простите, вращается шар вокруг одной оси - вокруг своей оси вращения. Соответственно, и вектор угловой скорости у него один.

И какая же у него своя ось вращения?
Могу посоветовать посмотреть программу эмулирующую вращения тела в 3D.
http://traintospace.googlepages.com/dja ... ffect.html
Где именно там своя ось вращения?

[Zai]

Вектор угловых скоростей преобразуется также как вектор скоростей при преобразовании координат. Мои последние выражения справедливы для любой системы координат, ось Z которых по нормали к плоскости

[Munin]

Kosmos в сообщении #182670 писал(а):

И какая же у него своя ось вращения?
Могу посоветовать посмотреть программу эмулирующую вращения тела в 3D.
http://traintospace.googlepages.com/dja ... ffect.html
Где именно там своя ось вращения?

Ну, у вас там вообще непонятно, откуда взято нелепое

1. DeltaOmegaX = -Dix * OmegaY * OmegaZ * Speed * deltaTime 
2. DeltaOmegaY = -Dix * OmegaX * OmegaZ * Speed * deltaTime 
3. DeltaOmegaZ = -Dix *OmegaX * OmegaY * Speed * deltaTime

Это неправда. Так тела не вращаются. И кроме того, "OmegaX, OmegaY, OmegaZ" - на самом деле не углы поворота вокруг осей, а углы Эйлера.

Короче, чем это переделывать, лучше всё выкинуть и начать заново.

[Kosmos]

Zai, стал делать, но получается что-то не то.

Вот в этом выражении получается, что угловая скорость вращения вокруг оси X ОмегаX зависит от линейной скорости движения по оси Х - Vx. Нет ли тут ошибки?

Zai писал(а):

$\Omega_x=\omega_x-\frac {-2\mu V_z \frac {mr} J (V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}

Здесь тоже самое, но относительно оси Y.

Zai писал(а):

$\Omega_y=\omega_y- \frac {-2\mu V_z \frac {mr} J(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}

Ещё вопрос, в каких пределах может меняться коэффициент мю?

Добавлено спустя 20 минут 32 секунды:

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #182670 писал(а):

И какая же у него своя ось вращения?
Могу посоветовать посмотреть программу эмулирующую вращения тела в 3D.
http://traintospace.googlepages.com/dja ... ffect.html
Где именно там своя ось вращения?

Ну, у вас там вообще непонятно, откуда взято нелепое

1. DeltaOmegaX = -Dix * OmegaY * OmegaZ * Speed * deltaTime 
2. DeltaOmegaY = -Dix * OmegaX * OmegaZ * Speed * deltaTime 
3. DeltaOmegaZ = -Dix *OmegaX * OmegaY * Speed * deltaTime

Это "нелепое" не у меня, а у Эйлера.

Munin писал(а):

Это неправда. Так тела не вращаются.

Тогда напишите свои формулы как тела вращаются.

Munin писал(а):

И кроме того, "OmegaX, OmegaY, OmegaZ" - на самом деле не углы поворота вокруг осей, а углы Эйлера.

А углы поворота вокруг чего тогда, если не вокруг осей?

Munin писал(а):

Короче, чем это переделывать, лучше всё выкинуть и начать заново.

Вперёд! Ждём когда вы напишите более простые формулы для решения той же задачи.
Умеете ли вы также лихо писать правильные формулы как оплёвывать чужой труд?

[Zai]

Вы правы, и нашли не последнюю мою опечатку
$\Omega_x=\omega_x- \frac {-2\mu V_z \frac {mr} J(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_y=\omega_y-\frac {-2\mu V_z \frac {mr} J (V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}

[Munin]

Kosmos в сообщении #183139 писал(а):

Это "нелепое" не у меня, а у Эйлера.

Нет, это - у вас. У Эйлера другие формулы.

Kosmos в сообщении #183139 писал(а):

Тогда напишите свои формулы как тела вращаются.

$M=P+(1-P)\cos\omega t+N\sin\omega t$
$P=\frac{1}{\omega^2}\left(\begin{array}{ccc}\omega_x^2&\omega_x\omega_y&\omega_x\omega_z\\ \omega_x\omega_y&\omega_y^2&\omega_y\omega_z\\ \omega_x\omega_z&\omega_y\omega_z&\omega_z^2\end{array}\right)$
$N=\left(\begin{array}{ccc}0&\omega_z&-\omega_y\\-\omega_z&0&\omega_x\\ \omega_y&-\omega_x&0\end{array}\right)$
Писал по памяти, может, чего-то неточно.

Kosmos в сообщении #183139 писал(а):

А углы поворота вокруг чего тогда, если не вокруг осей?

Ну поучите определения углов Эйлера. Вокруг осей - это немного другое.

[Kosmos]

Zai писал(а):

Вы правы, и нашли не последнюю мою опечатку
$\Omega_x=\omega_x- \frac {-2\mu V_z \frac {mr} J(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_y=\omega_y-\frac {-2\mu V_z \frac {mr} J (V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}

Спасибо!
А почему в одной формуле вверху дроби в скобках в одном случае плюс, а в другом минус?
И какой мне выбрать коэффициент \mu для опытов? Если он скажем равен единице, то у меня Uх становится больше чем Vx. Это в случае, когда шарик вертикально падает на плоскость наклонённую под 45 градусов. Vy = 0.

Добавлено спустя 8 минут 26 секунд:

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #183139 писал(а):

Это "нелепое" не у меня, а у Эйлера.

Нет, это - у вас.

Спасибо, я польщён.

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #183139 писал(а):

Тогда напишите свои формулы как тела вращаются.

$M=P+(1-P)\cos\omega t+N\sin\omega t$
$P=\frac{1}{\omega^2}\left(\begin{array}{ccc}\omega_x^2&\omega_x\omega_y&\omega_x\omega_z\\ \omega_x\omega_y&\omega_y^2&\omega_y\omega_z\\ \omega_x\omega_z&\omega_y\omega_z&\omega_z^2\end{array}\right)$
$N=\left(\begin{array}{ccc}0&\omega_z&-\omega_y\\-\omega_z&0&\omega_x\\ \omega_y&-\omega_x&0\end{array}\right)$
Писал по памяти, может, чего-то неточно.

1) Что, в том учебнике из которого вы это переписывали не расшифровывалось какая буква чего значит?

2) То есть вы утверждаете, что это проще, чем это.

Цитата:

1. DeltaOmegaX = -Dix * OmegaY * OmegaZ * Speed * deltaTime
2. DeltaOmegaY = -Dix * OmegaX * OmegaZ * Speed * deltaTime
3. DeltaOmegaZ = -Dix * OmegaX * OmegaY * Speed * deltaTime

Понятно.

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #183139 писал(а):

А углы поворота вокруг чего тогда, если не вокруг осей?

Ну поучите определения углов Эйлера. Вокруг осей - это немного другое.

Короче вы бросились опровергать, а подтвердить свои слова ничем не смогли. Тоже всё ясно.

[Munin]

Kosmos в сообщении #183192 писал(а):

1) Что, в том учебнике из которого вы это переписывали не расшифровывалось какая буква чего значит?

Я же сказал, я не из учебника переписывал. Я это наизусть помню, как вы помните элементарную тригонометрию (если помните).

А буква там только одна - вектор угловой скорости $\omega.$ Один, не три. Ах да, ещё время $t.$ Вам этого не хватало: расшифровки обозначений? Или ещё какие-то вопросы есть?

Kosmos в сообщении #183192 писал(а):

2) То есть вы утверждаете, что это проще, чем это.

Нет, я не утверждаю, что проще. Я утверждаю, что правильнее. Как, например, 2+2=4 правильнее, чем 2+2=5. Не проще, ничуть.

Kosmos в сообщении #183192 писал(а):

Короче вы бросились опровергать, а подтвердить свои слова ничем не смогли.

Что значит, ничем не смог? Вы просили свои формулы - я их привёл.

[Zai]

Kosmos писал(а):

А почему в одной формуле вверху дроби в скобках в одном случае плюс, а в другом минус?

Это из-за векторного произведения радиус-вектора на вектор угловой скорости. Это можно проверить Вам самому.

Kosmos писал(а):

И какой мне выбрать коэффициент \mu для опытов?

Для отладки программы возьмите величину 0.05, а так нужно смотреть справочник по коэффициентам трения скольжения. В формулах нужно также ввести поправку на неупругость удара, когда есть коэффициент восстановления скорости отскока.

Kosmos писал(а):

Если он скажем равен единице, то у меня Uх становится больше чем Vx. Это в случае, когда шарик вертикально падает на плоскость наклонённую под 45 градусов. Vy = 0.

Вам нужно решить не менее четырех тестовых задач. Две для направления X, и две для направления Y. Одна задача нулевая линейная скорость по X и ненулевая угловая скорость по Y.
Вторая задача ненулевая линейная скорость по X и нулевая угловая скорость по Y.

Следующая версия формул
$\Omega_x=\omega_x- \frac {-2\mu V_z \frac {mr} J(V_y+\omega_x r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
$\Omega_y=\omega_y+\frac {-2\mu V_z \frac {mr} J (V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}
После удара угловая скорость по Y не должна возрастать при нулевой линейной скорости по X.

P.S. У Вас еще будут проблемы с остановкой движения. Кроме того направления сил трения при ударе определяется по начальным до удара скоростям, а как учесть скорости в процессе удара я не знаю

[Kosmos]

Zai писал(а):

Kosmos писал(а):

А почему в одной формуле вверху дроби в скобках в одном случае плюс, а в другом минус?

Это из-за векторного произведения радиус-вектора на вектор угловой скорости. Это можно проверить Вам самому.

Дело в том, что я не очень хорошо понимаю эти формулы. Вот, например эта:

$U_x=V_x- \frac {-2\mu V_z(V_x-\omega_y r)} {\sqrt {(V_x-\omega_y r)^2+(V_y+\omega_x r)^2}}

Допустим вращения отсутствуют. Тогда скорость Ux зависит от Vz (идущей вверх). Причём если Vz небольшая, то скорость Ux уменьшается по сравнению с Vx, если больше, то падает до нуля, а если ещё больше, то тело начинает двигаться в обратную сторону. Разве это правильно?

В знаменателе дроби стоит теорема Пифагора, в ней находим гипотенузу скорости. Но какой? Разве скорость движения по оси Х зависит от скорости вращения вокруг этой оси? И разве зависит от скорости движения по оси Y ?

В общем, ощущение, что что-то напутано, а как правильно - я сам не понимаю.

Добавлено спустя 2 часа 2 секунды:

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #183192 писал(а):

1) Что, в том учебнике из которого вы это переписывали не расшифровывалось какая буква чего значит?

Я же сказал, я не из учебника переписывал. Я это наизусть помню, как вы помните элементарную тригонометрию (если помните).

Одни знают тригонометрию и могут объяснить смысл формул, а другие знают, но не могут объяснить смысл зазубренного набора знаков. В вашем наборе знаков никаких объяснений не вижу.

Munin писал(а):

А буква там только одна - вектор угловой скорости $\omega.$ Один, не три. Ах да, ещё время $t.$ Вам этого не хватало: расшифровки обозначений? Или ещё какие-то вопросы есть?

M, P, N, wx, wy, wz, вектор то у вас один, а не три.

Munin писал(а):

Kosmos в сообщении #183192 писал(а):

Короче вы бросились опровергать, а подтвердить свои слова ничем не смогли.

Что значит, ничем не смог? Вы просили свои формулы - я их привёл.

Зачем вы вырезали из постинга все высказывания про углы Эйлера и пытаетесь теперь представить всё так, как будто речь шла не о них? Ведите дискуссию честно. Нечего ответить - так и скажите.

[Munin]

Kosmos в сообщении #183334 писал(а):

Одни знают тригонометрию и могут объяснить смысл формул, а другие знают, но не могут объяснить смысл зазубренного набора знаков. В вашем наборе знаков никаких объяснений не вижу.

Ага. Это было сделано специально. Есть такой способ стимулирования учеников: заставить их разобраться, почему ответ такой, а не другой. Могу дать пару подсказок: P осуществляет проецирование, а N - векторное умножение. То есть в переводе на векторные обозначения... хотя нет. Переведите сами :-)

Kosmos в сообщении #183334 писал(а):

M, P, N, wx, wy, wz, вектор то у вас один, а не три.

$M$ - полная матрица поворота на угол $\omega t$ вокруг оси вращения, $P$ - матрица проекции, $N$ - матрица векторного произведения, $\omega_x, \omega_y, \omega_z$ - координаты вектора угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$ (не путать с $\omega,$ первое вектор, второе скаляр - его модуль).

Kosmos в сообщении #183334 писал(а):

Зачем вы вырезали из постинга все высказывания про углы Эйлера и пытаетесь теперь представить всё так, как будто речь шла не о них?

А, так слова

Kosmos в сообщении #183192 писал(а):

Короче вы бросились опровергать, а подтвердить свои слова ничем не смогли.

относились к углам Эйлера? Тогда всё ещё грустнее. Я же сказал: подучите определения углов Эйлера. В них и найдёте подтвеждение моим словам. Там только первое вращение вокруг оси. Второе - вокруг повёрнутой оси. А третье - вокруг дважды повёрнутой оси. Это связано с тем, что матрицы перемножаются, то есть преобразования применяются последовательно. А в моём варианте - складываются, никакого последовательного применения преобразований нет.