Приложение математики

[Imperator]

$v(t)*dv(t)=a(t)*dx(t)$

Архипов

Как называется это "дифференциальное уравнение" и каким методом Вы его собираетесь решать?

[TOTAL]

Imperator писал(а):

Архипов
Как называется это "дифференциальное уравнение" и каким методом Вы его собираетесь решать?

Мне всё-таки кажется, что гораздо нагляднее будет, если Архипов продемонстрирует свой метод решением задачи, которую он сам тут предложил (про пятикилограммовое тило).

[Архипов]

PAV в сообщении #182191 писал(а):

Оно не связывает значения неизвестной функции и ее производных в одной и той же точке. Не надоело об одном и том же? Если Вы не понимаете значения слова "связывать между собой величины" в математическом контексте, то, может быть, стоит в этом просто признаться?

Признаюсь. Покажите, - как Вы понимаете?
Например, дано:

$dx=t^3*dt$ ,
$x'=t^3$
Найти неизвестную функцию $x(t)$ по ее первой производной.

Является данное выражение дифференциальным уравнением?
Нет, так как дана одна производная, а нужно - не меньше двух.
Хотя все остальные признаки дифференциального уравнения присутствуют. Связь я вижу в двух знаках (*,=), Неизвестную функцию нахожу в таблице интегралов, дифференциирую её и убеждаюсь, что она соответствует данному уравнению.

Добавлено спустя 1 час 26 минут 42 секунды:

Imperator в сообщении #182192 писал(а):

Архипов

Как называется это "дифференциальное уравнение" и каким методом Вы его собираетесь решать?

Не знаю названия. Давайте назовем его "шаблон дифференциалов" либо "матрица дифференциалов".
В исходной задаче $a(t)=C$ (а можно $a(t)$ задать и конкретеной функцией). Интегрируем обе части уравнения в определенных интегралах и получим искомую функцию $v(t)$. (только нужно задать пределы интегрирования (для v и t ). По одному пределу зададим - получим функцию, по два - конкретные значения.

Добавлено спустя 10 минут 48 секунд:

TOTAL в сообщении #182195 писал(а):

Мне всё-таки кажется, что гораздо нагляднее будет, если Архипов продемонстрирует свой метод решением задачи, которую он сам тут предложил (про пятикилограммовое тило).

Как Вы сами отвечаете на подобные просьбы?
"Сначала изложите свою версию - а мы посмотрим...." Так?
Вот и изложите..
Задача мною не корректно предложена была. Раз заданы числовые значения величин, то и ответ предполагается числовым. А он получается символическим ("бесконечность").

Добавлено спустя 18 минут 55 секунд:

PAV , например, не согласен называть обсуждаемое выражение дифференциальным уравнением (только четко не указал признак, не позволяющий этого делать). Ладно, назовем "шаблоном". Если ввести в него конкретную функцию $a(t)$, либо $a(v)$, либо $a(x)$, попадет оно в класс дифференциальных уравнений?

[PAV]

Архипов в сообщении #182205 писал(а):

Является данное выражение дифференциальным уравнением?
Нет, так как дана одна производная, а нужно - не меньше двух.

Кто Вам сказал, что производных должно быть не меньше двух? Вот ссылка на статью в БСЭ

http://slovari.yandex.ru/dict/bse/artic ... /96900.htm

Там приводится пример совершенно нормального дифференциального уравнения (я заменил их обозначение $T$ на $x$, чтобы это было ближе к обсуждаемому вопросу):
$$x'(t)=-kx(t)$, где $k$ - заданная константа. Обратите внимание, что строчкой выше там написана запись через дифференциалы и она не называется дифференциальным уравнением. Никаких "двух производных" там не предполагается.

Так что если Вы в своем уравнении перейдете от дифференциалов к производным, то действительно получите нечто, что вроде как похоже на д.у. Вроде как - потому что если Вы разделите обе части на $dt$ и перейдете к производным, то получится исключительно содержательное уравнение $va=av$. Иными словами, тавтология, тождество, которое верно вообще для любой функции и не несет в себе совершенно никакой информации. Долго что-то выводили и затем получили, что в данной задаче $1=1$. Очень ценный результат.

Все только потому, что "формулы", из которых это выводилось, выражают не содержательные факты, а определения. Информации в них ноль. При отсутствии информации действительно можно вывести только тавтологии. Так что ошибаетесь, из "ничего" содержательного результата вывести нельзя, хотя Вы очень сильно старались убедить тут всех, что можно. А при отсутствии понимания сути дела Вы и не понимали, что исходные "формулы" совершенно пустые, и не поняли, что результат выведенный из них также пустой.

[ewert]

Архипов в сообщении #182205 писал(а):

Является данное выражение дифференциальным уравнением?

(а где конкретно писал -- хрен его знает)

Нет, не является. Поскольку никакое из данных нам в ощущениях выражениев не требует, по постановке задачи, чтоб выполнялось тождественно на некотором интервале. Ну а коли не требует -- о каком уравнении вообще может идти речь?...

[Архипов]

PAV в сообщении #182251 писал(а):

Кто Вам сказал, что производных должно быть не меньше двух? Вот ссылка на статью в БСЭ

Прежде Вы давали ссылку на Википедию, а там написано "...связывающее производные различных порядков".
Не написано "одну или несколько", но написано "различных". Ну, как понимать? Не менее двух - иначе не будет различных.

Уважаемый PAV, согласен со многими Вашими замечаниями в этом сообщении. Вы объяснили - я понял. Зря только с определеним дифференциального уравнения много времени "убили".

Идея темы была такова (поясню на конкретном примере: школьная задача по матанализу в теме "дифференциальные уравнения").
Написано: из законов Гука, Ньютона следует $x''(t)=-k*x(t)$, решением этого уравнения является $x(t)=A*sin(wt+f)$, в добавок $w^2=k$, двойным дифференциированием приходим к исходному дифференциальному уравнению. Решение доказано. А откуда решение взято? Из справочника.
Я предложил другой метод:
1) В тождество $v*dv=a*dx$ (из определений $x', x''$) вставляем $a=-k*x(t)$ и получаем другое дифференциальное уравнение $v*dv=-k*x*dx$. Для него не нужно искать функцию $x=f(t)$ в справочнике, а нужно интегрировать уравнение, определенное для верхних пределов $v_o,x_o$ . Получим функцию $v(x)$. Хотя, конечно, нашли функцию в таблице интегралов.
2) Затем получаем определенный интеграл (функцию$t(x)$ ) из дифференциального уравнения времени $dt=dx/v(x)$ (вставив функцию $v(x)$ и взяв табличный интеграл), после чего находим обратную функцию $x=f(t)$. Всё.
Заметна разница?
1) В первом методе нужно угадать функцию $x=f(t)$ (или взять её из справочника) и дважды ее продифференциировать, прийдя к исходному дифф. уравнению.
2) Во втором методе нужно дважды проинтегрировать самим составленные дифф. уравнения ( взяв табличные интегралы - проще, чем угадывать).
3) Получаем опыт составления новых дифф. уравнений и лучше уясним - что же такое дифференциальное уравнение.

[TOTAL]

Архипов писал(а):

TOTAL в сообщении #182195 писал(а):

Мне всё-таки кажется, что гораздо нагляднее будет, если Архипов продемонстрирует свой метод решением задачи, которую он сам тут предложил (про пятикилограммовое тило).

Как Вы сами отвечаете на подобные просьбы?
"Сначала изложите свою версию - а мы посмотрим...." Так?
Вот и изложите..
Задача мною не корректно предложена была. Раз заданы числовые значения величин, то и ответ предполагается числовым. А он получается символическим ("бесконечность").

В условии сказано, что тело проходит какое-то расстояние до полной остановки.
Означает ли это, что Вы сами неверно решили задачу перед тем, как её здесь формулировать?

[PAV]

Архипов в сообщении #182359 писал(а):

Не написано "одну или несколько", но написано "различных". Ну, как понимать? Не менее двух - иначе не будет различных.

Что же Вы так любите буквоедствовать? Лучше бы в сути вещей разбирались, чем к буковкам цепляться. Загляните в тему Аттила сыграл важную роль в истории. Учебная задачка на логические ошибки. Вы подобную ошибку и делаете.

Словарь Ушакова:

Цитата:

РАЗЛИ'ЧНЫЙ, ая, ое; -чен, чна, чно.
1. Неодинаковый в чем-н., несходный, разный. У нас различные мнения. Различно повторять одно. Пушкин.
2. Разнообразный, всякий, всевозможный. Пока я волновался и строил различные планы, судьба уже порадела обо мне. Тургенев.

В определении д.у. слово "различный" употреблено во втором смысле, а Вы пытаетесь ему приписать первый. Учиться надо бы, а не буквоедствовать.

Архипов в сообщении #182359 писал(а):

Получаем опыт составления новых дифф. уравнений и лучше уясним - что же такое дифференциальное уравнение.

Может быть, кто-то и сумеет что-нибудь лучше уяснить из Ваших объяснений, но мне лично ничего не понятно и понятнее не становится. Берем какие-то формулы, одни в другие подставляем и что-то на выходе получаем. Слабые студенты обычно именно так и воспринимают большинство математических доказательств и рассуждений, которым их учат. А нужно понимать суть - что означают исходные формулы, в чем содержательный смысл производимых преобразований, каков смысл полученного результата. Является ли он лишь другой формулировкой того, что было в начале, или же несет дополнительную информацию. Вот именно эти вопросы, которыми Вы даже не задаетесь, и являются настоящей профессиональной математикой, а вовсе не те механические преобразования, которые Вы демонстрируете.

Архипов в сообщении #182359 писал(а):

Решение доказано. А откуда решение взято? Из справочника.

Ошибаетесь. Рассмотренное Вами уравнение относится к одному из самых простейших видов - однородное линейное с постоянными коэффициентами. Они все решаются по известному алгоритму, который студентам рассказывают на первых же семинарах по этой дисциплине. Более того, данное уравнение настолько тривиально, что любой математик просто видит его решение сразу же, так же как опытный врач может поставить диагноз еще до результатов анализов.