Метрика

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #179996 писал(а):

У вас просто катастрофически не наработаны геометрические образы. Это исправимо.

Кстати, у меня тоже есть определенные затруднения в геометрических образах. Я не могу понять, что есть свертка тензора без его координатнатного представления. Я надеюсь, что это не будет сильно продолжительным оффтопиком и Вы мне поможете понять в чем дело достаточно быстро.

Итак, посмотрим на произвольный тензор ранга $(1,1)$ $A^i_j$. Если $A^i_j = \varphi^i x_j$, то с его сверткой все понятно — это $\varphi(x)$. А если это не так? Можно представить любой такой тензор, как сумму $\varphi^i x_j+\psi^i y_j+\dots$ и тогда его свертка будет $\varphi(x)+\psi(y)+\ldots$, но ведь в этом есть тоже кое-что от координатного представления, хоть и неявно. Есть ли простое геометрическое соображение, которое явно дает представление о свертке без каких-либо разложений в сумму?

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #180144 писал(а):

Кстати, у меня тоже есть определенные затруднения в геометрических образах.

Это какая-то распространённая вещь. Создаётся впечатление, что рассказывать наглядные образы сложных математических понятий просто немодно, или дурной тон. А уж мечта - "коллекция", "справочник" наглядных образов - совсем призрачна.

Из того, что я помню, какие-то геометрические образы встречаются в Рашевском "Риманова геометрия и тензорный анализ" (кстати, там очень яркий образ тензорной производной векторного поля), в Кореневе "Тензорное исчисление", и в МТУ.

вздымщик Цыпа в сообщении #180144 писал(а):

Я не могу понять, что есть свертка тензора без его координатнатного представления.
Есть ли простое геометрическое соображение, которое явно дает представление о свертке без каких-либо разложений в сумму?

Я не знаю адекватного образа именно свёртки, к сожалению. Но вот что-то довольно похожее. Пусть наш тензор $A^i_j$ дифференциально мал. Тогда можно рассмотреть линейное преобразование пространства $T^i_j=\delta^i_j+A^i_j,$ и вот здесь-то свёртка будет очень наглядна: это изменение объёма вследствие такого преобразования. Удобно представлять себе результат преобразования единичного шара. Тогда по осям растяжение будет в $(1+A^i_j)_{i=j}$ раз, а весь объём - соответственно, в $(1+A^i_i)$ раз. (Обозначение ${}_{i=j}$ - чтобы избежать суммирования.)

Причём такой образ, несмотря на то, что не даёт "всамделишной" свёртки, в физических применениях часто удобен. Когда мы рассматриваем деформацию, делим её на шаровую и бесследовую часть, это именно изменение объёма в виде равномерного растяжения, и изменение формы с постоянным объёмом. Когда мы рассматриваем тензор приливных сил, единичная сфера пробных точек свободно падает, не меняя своего объёма, а только вытягиваясь по вертикали, и сжимаясь по горизонтали. Кстати, этот процесс можно продолжить с дифференциально малых деформаций на конечные, если взять от тензора $A^i_j$ экспоненту - тогда растяжение вдоль оси (собственной!) в $(1+A^i_j)_{i=j}$ раз превратится в $(\exp A^i_j)_{i=j}$ раз. И да, если внутри сферы пробных точек есть ненулевая плотность массы, она падает с изменением объёма.

Надеюсь, это чем-то поможет.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

P. S. Похоже, из этих соображений следует, что геометрический образ свёртки и не может быть ничем лучшим, чем "логарифм изменения объёма"... :-( Ну, хоть что-то.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #180160 писал(а):

Удобно представлять себе результат преобразования единичного шара. Тогда по осям растяжение будет в $(1+A^i_j)_{i=j}$ раз, а весь объём - соответственно, в $(1+A^i_i)$ раз.

С этим понятно

$$\prod_i(1 + \alpha_i) = 1 + \sum_i\alpha_i$$

с точностью до более малых, чем сами $\alpha_i$.

Munin в сообщении #180160 писал(а):

Кстати, этот процесс можно продолжить с дифференциально малых деформаций на конечные, если взять от тензора $A^i_j$ экспоненту - тогда растяжение вдоль оси (собственной!) в $(1+A^i_j)_{i=j}$ раз превратится в $(\exp A^i_j)_{i=j}$ раз.

Но вот с экспонентой совсем неясно. Если $A = \mathrm{diag}(\alpha_i)$, то $\exp(A) = \mathrm{diag}(\exp(\alpha_i))$. Те более малые, которыми можно было пренебречь, были ведь попарными (и бOльших количествах) призведениями, а вовсе не степенями. Я совсем не понял, чем

$$\sum_i\exp(\alpha_i)$$

хоть сколько-нибудь похожа что-нибудь.

[Munin]

Хм. Верно, я ошибся. Для диагональной формы изменение объёма произведение, а не сумма (детерминант, собственно!).

С другой стороны, я бы не стал сбрасывать визуализацию "через дифференциальную малость" со счётов. Не так уж мало пользы в понимании свойств объекта через свойства экспоненты от этого объекта, взятого с бесконечно малым коэффициентом. Например, антиэрмитовы операторы понимаются через ортогональные.

А как понять непосредственно свёртку... что-то мой энтузиазм совсем сдулся. Через характеристический многочлен?

[AlexNew]

Свертка это просто сумма собственных значений оператора, матрицы, тензора.

Если была сфера (все возможные направления единичных векторов), то оператор ее деформирует уникальным образом, определяймым собственными значениями,

не думаю что геометрические образы всегда полезны, скорее суть подменяют разнахиванием рук часто, но часто и полезны тоже, проще понять геометрически а потом уже по настоящему.

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

Цитата:

я бы не стал сбрасывать визуализацию "через дифференциальную малость" со счётов.

даже простые вещи можно обьяснить сложно : ))

[Munin]

Вспомнил! Надо просто было вместо суммы брать среднее. Тогда получается... получается...

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

AlexNew в сообщении #180374 писал(а):

не думаю что геометрические образы всегда полезны,

Ну и мучайтесь без них.

AlexNew в сообщении #180374 писал(а):

скорее суть подменяют разнахиванием рук

Геометрический образ нужен не в разговоре, а когда вы сами представляете себе объет.

[Usimov]

AlexNew писал(а):

Чем отличается метрика от криволинейной системы координат?

Тем, что это совершенно разные понятия. :d Метрика - это 2-ковариантное тензорное поле.
Метрика - это абстрактный тензорный объект. И от координат он зависит только в том смысле, что его числовые компоненты меняются при смене системы координат, как и компоненты всякого тензора, т.е. при переходе к другой карте.
(Локальные) координаты - этот координаты в евклидовом пространстве, которому диффеоморфна данная координатная окрестность.
Поэтому в чем проблемма? Если сказано, что в некоторых координатах задан метрический тензор (поле) с данной матрицей, то это и будет метрический тензор с данной матрицей. В этих локальных координатах или даже в данной точке. Т.е. все равно надо знать координатную окрестность и систему координат на ней. Тогда, если нам дана матрица с функциями, заданными на этом множестве, то мы можем утверждать, что мы знаем метрическое тензорное поле на этом множестве.
А если мы не знаем локальной системы координат, то .. ничего страшного тоже нет. Поле все равно есть. Но вот никаких конкретных чисел или функций приписать ему вне локальной системы координат нельзя!
Это как продукты питания. Хлеб в магазине стоит 5 рублей. Но это только в нашей стране. В США он стоит, положим, 5 долларов. А вот вне общества конкретной цены хлеба нет, ибо нет системы оценки.

[Утундрий]

Вернемся к истокам, оставив за бортом столь любимую автором демагогию:

AlexNew писал(а):

Чем отличается метрика от криволинейной системы координат?

Если под "метрикой" понимать метрику искривленного пространства (пространства-времени), а под "криволинейной системой координат" недекартовы (негалилеевы) координаты в плоском пространстве (пространстве-времени), то ответ автору уже был дан. Берем метрику, считаем канонически ассоциированные с ней связности, затем тензор Римана-Кристоффеля. И если оный тензор суть всюду нуль, то это "криволинейная система", иначе - "метрика".

Рекомендую автору не словоблудствовать далее, ибо у кажного самосознания наличествует предел за которым оное отключается. Автор к этому пределу близок, если уже не за...

[AlexNew]

Usimov писал(а):

Тем, что это совершенно разные понятия. :d Метрика - это 2-ковариантное тензорное поле.
Метрика - это абстрактный тензорный объект. И от координат он зависит только в том смысле, что его числовые компоненты меняются при смене системы координат, как и компоненты всякого тензора, т.е. при переходе к другой карте.

сейчас для меня эти слова имеют смысл, было время подумать на прошлой неделе.
понял в чем была путаница у меня...

Теперь что же я понял : )
1) метрика - это тензорное поле, которое действует на все вектора дает нам в результате число, которое имеет кое-какое отношение законам и более ничего!!!!

Usimov писал(а):

(Локальные) координаты - этот координаты в евклидовом пространстве, которому диффеоморфна данная координатная окрестность.

2) локальные координаты : )) мне кажется мало кто понимает что это.
локальные координаты можно задать глобально как угодно, например декартовые и забыть про них, на физику они все равно не влияют.

а вот метрика запишется по разному в каждой точке, это ведь тензорное поле, понимаете?
более того задавать локалн. коорд. по разному в разных точках это просто преступление, потому как законы перестанут работать глобально, представьте вам нужно поле посчитать в пространстве например методом конечных элементов а матрица начинает крутится по ходу, координаты определят физику!, чего быть не должно!, есть уже одно тензорное поле – метрика, другого быть не должно или нужно явно задать другое тензорное поле.
книги по ОТО в топку : )

3) как выделять метрику из координат? а очень просто, по собственным значениям

Утундрий писал(а):

Если под "метрикой" понимать метрику искривленного пространства (пространства-времени), а под "криволинейной системой координат" недекартовы (негалилеевы) координаты в плоском пространстве (пространстве-времени), то ответ автору уже был дан. Берем метрику, считаем канонически ассоциированные с ней связности, затем тензор Римана-Кристоффеля. И если оный тензор суть всюду нуль, то это "криволинейная система", иначе - "метрика".

коэффиц связности - чисто координатное явление, оно нам надо? как вы видите смысл их приминения?

(кстати, вопрос был про отдельмую точку что не раз подчеркивалось, ну это к слову)

П.С.
Очень просто задурить себе голову бредом особенно с религ. толмудов, а потом с надменным видом толковать другим то что не понятно самому. Думаете мы лучше религ. фанатиков, такиеже люди. Это я о себе : ))

[Утундрий]

AlexNew писал(а):

коэффиц связности - чисто координатное явление

Неправда

AlexNew писал(а):

как вы видите смысл их приминения?

Наверно так жы как смысел преминять правилов рускаво йазыка

AlexNew писал(а):

(кстати, вопрос был про отдельмую точку что не раз подчеркивалось, ну это к слову)

Ну, тогда ваш вопрос звучит просто анекдотично. "Задана матрица, вопрос: это матрица или это матрица?"

AlexNew писал(а):

книги по ОТО в топку : )

Верю, что опыт в этом деле у вас большой... А читать их не пробовали?

[epros]

AlexNew писал(а):

2) локальные координаты : )) мне кажется мало кто понимает что это.
локальные координаты можно задать глобально как угодно, например декартовые и забыть про них, на физику они все равно не влияют.

Если Вы не можете решить, что такое координаты, то можете считать, что это n скалярных полей.
А если вопрос только в том, какие из координат "локальные", то лучше не парьтесь: Любые координаты определены "локально" в некоторой окрестности некой точки. Можно, конечно, расматривать касательные евклидовы пространства и прочую лабуду, но к Вашему вопросу это не имеет прямого отношения.

AlexNew писал(а):

а вот метрика запишется по разному в каждой точке, это ведь тензорное поле, понимаете?
более того задавать локалн. коорд. по разному в разных точках это просто преступление, потому как законы перестанут работать глобально, представьте вам нужно поле посчитать в пространстве например методом конечных элементов а матрица начинает крутится по ходу, координаты определят физику!, чего быть не должно!, есть уже одно тензорное поле – метрика, другого быть не должно или нужно явно задать другое тензорное поле.
книги по ОТО в топку : )

Я, например, Вас не понимаю.

AlexNew писал(а):

3) как выделять метрику из координат? а очень просто, по собственным значениям

Понять бы, что бы это могло значить: "выделять метрику из координат"...

AlexNew писал(а):

коэффиц связности - чисто координатное явление, оно нам надо? как вы видите смысл их приминения?

Коэффициенты связности - действительно зависят от координат. Но сама по себе "связность" - это геометрическое понятие, независимое от выбора координат. Она определяет параллельный перенос для данного пространства. А результат переноса, естественно, от выбора координат не зависит.

[Munin]

AlexNew в сообщении #181874 писал(а):

2) локальные координаты : )) мне кажется мало кто понимает что это.

Это вам кажется.

AlexNew в сообщении #181874 писал(а):

более того задавать локалн. коорд. по разному в разных точках это просто преступление, потому как законы перестанут работать глобально,

Нет. Достаточно задать правила преобразования.

AlexNew в сообщении #181874 писал(а):

книги по ОТО в топку : )

Ваш бред - в топку.

AlexNew в сообщении #181874 писал(а):

как выделять метрику из координат? а очень просто, по собственным значениям

Нет. Это только для плоского пространства.

AlexNew в сообщении #181874 писал(а):

коэффиц связности - чисто координатное явление, оно нам надо? как вы видите смысл их приминения?

Нет, не чисто координатное. Надо. Учите учебники.

[AlexNew]

epros писал(а):

Понять бы, что бы это могло значить: "выделять метрику из координат"...

я имел в виду под метрикой тензорное поле, и ее числовое представление, числовое представление может быть различным, но тензорное поле, в кавдой точке будет обладать своими инвариантами в не зависимости от числового представления

epros писал(а):

Но сама по себе "связность" - это геометрическое понятие, независимое от выбора координат.

в таком случае это еще одно тензорное поле, вместе с метрикой, которое строится на основе метрике. (одно и тоже поле используем 2 раза, масло масленное)
я не понимаю в чем его смысл и почему оно входит в законы.

epros писал(а):

Она определяет параллельный перенос для данного пространства.

координаты вектора зависят только от координат, к метрике это не имеет отношения! она не меняет ориентацию вектора,
тоесть совершенно бессмысленная вещь поскольку законы не зависят от направления, пространство локально-изотропно
тоеть зачем нужно вращать вектора глобально, нет в физике таких законов в которых связывается ориентация 2х векторов в разных точках пространства.
мне кажется она используется от непонимания... из -за путаницы между "координатами" и "метрикой".
В наглядных примерах со сферой используют не вектора, а скорее направленные отрезки, с ограничением на возможные преоброзование координат.

Утундрий писал(а):

AlexNew писал(а):

как вы видите смысл их приминения?

Наверно так жы как смысел преминять правилов рускаво йазыка

остаетсь Утундрий вам только пожелать дальнейших успехов в граматическом анализе учебников по физике и напомнить что в форуме есть гуманитарная ветка, в которой ваши коментарии будут звучать более уместно : )))

Munin писал(а):

Нет, не чисто координатное. Надо. Учите учебники.

Спасибо!!! и вам того же : ))

[Утундрий]

AlexNew писал(а):

остаетсь Утундрий вам только пожелать дальнейших успехов в граматическом анализе учебников по физике и напомнить что в форуме есть гуманитарная ветка, в которой ваши коментарии будут звучать более уместно : )))

У меня есть все основания полагать, что аргументы более общего порядка вы вряд ли примете во внимание)

[Munin]

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

я имел в виду под метрикой тензорное поле

Усвойте же наконец, что метрика - это не просто тензорное поле.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

но тензорное поле, в кавдой точке будет обладать своими инвариантами в не зависимости от числового представления

Метрика и обладает.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

в таком случае это еще одно тензорное поле

Нет. Связность - не тензор, про это во всех букварях рассказано.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

я не понимаю в чем его смысл и почему оно входит в законы.

Почитаете учебники - поймёте.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

координаты вектора зависят только от координат, к метрике это не имеет отношения!

Вам говорят не про координаты, а про параллельный перенос, и не про метрику, а про связность. И то и другое - вещи разные.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

нет в физике таких законов в которых связывается ориентация 2х векторов в разных точках пространства.

Есть. Например, уравнения Максвелла. Знаете такие? Да что там, даже Второй закон Ньютона.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

мне кажется она используется от непонимания...

Это вам кажется от непонимания.

AlexNew в сообщении #182096 писал(а):

В наглядных примерах со сферой используют не вектора, а скорее направленные отрезки, с ограничением на возможные преоброзование координат.

Вы просто не знакомы толком с понятием вектора. В данном случае векторы откладываются в касательном пространстве, и являются полноценными векторами, а не "направленными отрезками".