дельта-функция в сферических координатах

[nckg]

Здравствуйте!

Недавно меня заинтересовал вопрос - как выглядит дельта функция
$\delta^{3}(x,y,z)=\delta(x)\cdot\delta(y)\cdot\delta(z)$
в сферических координатах?

В инете нашёл 2 противоречивых ответа:
1)

$$\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}$$

(здесь и здесь)
2)

$$\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}$$

(здесь и здесь)

Что является верным и почему?

[nestoklon]

nckg в сообщении #181692 писал(а):

Что является верным и почему?

Тут такой забавный момент есть... Так как дельта-функция на самом деле никакая не функция, её определение в некотором смысле бессмысленно без указания правил интегрирования.

Плохо сказал. Не определение, а "расписывание по координатам"

[nckg]

согласен, а где-нибудь в литературе этот момент (и вообще сабж) обсуждается?

Тут даже указать правила "интегрирования" не так-то просто.
Пусть $\psi(x,y,z)\in D(\mathbb R^3)$ --- основная функция, а $\widetilde\psi(r,\theta,\varphi)$ --- её вид в сферических координатах. Если мы попытаемся ввести "запись в сферических координатах"
$\widetilde f(r,\theta,\varphi)\in D'(\mathbb R^3)$ для какой-то обобщ. ф. $f(x,y,z)\in D'(\mathbb R^3)$, соответствующую интегрированию, то правило было бы таким:

$$(f,\psi)=(\widetilde f, \widetilde \psi \cdot r^2 \sin\varphi)$$

но правая часть не имеет смысла, т.к. $\widetilde \psi$ не является финитной...
и вообще не определена при $r<0$... то есть $\widetilde f(r,\theta,\varphi)$ уже не будет из $D'(\mathbb R^3)$...

[MaximKat]

А кто сказал, что обобщенные функции можно записать в полярных координатах?

[nckg]

извиняюсь, опечатался - речь идёт об $\mathbb R^3$ и о сферических координатах соответственно.

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

Поправил опечатки.
Можно сказать, что в этом и вопрос - можно ли записать обобщённую функцию из $D'(\mathbb R^3)$ в сферических координатах?

[Gortaur]

Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел. Кстати, если у Вас есть сомнения, начните с $\delta(x,y)$.

По-моему, здесь двоякого толкования быть не должно. Кстати, т.к. приведенные Вами примеры различаются только константой, можно вычислить интеграл и проверить ответы.

[nckg]

Gortaur, не могли бы Вы уточнить, что Вы предлагаете понимать под записью $\delta(x,y)$ в полярных координатах? То есть что понимается под $\delta(r,\varphi)$?

[nestoklon]

Gortaur в сообщении #181766 писал(а):

Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел.

Из-за того, что предела не существует, тут и начинаются чудеса.
Это как когда суммируем несходящийся ряд. Там можно получить всё что угодно. Тут произвола конечно поменьше, но ситуация похожая.

пошёл придумывать пример

[Йа Гринько]

Gortaur в сообщении #181766 писал(а):

Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел

Вообще предел существует.
Надо только пределить функцию как предел:
$\delta_\Delta(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac1\Delta,\quad x\in[-\Delta,\Delta]\\ 0,\quad x\notin[-\Delta,\Delta] \end{array} \right. $ и
$\delta(x) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(x)$

[вздымщик Цыпа]

Йа Гринько писал(а):

Gortaur в сообщении #181766 писал(а):

Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел

Вообще предел существует.
Надо только пределить функцию как предел:
$\delta_\Delta(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac1\Delta,\quad x\in[-\Delta,\Delta]\\ 0,\quad x\notin[-\Delta,\Delta] \end{array} \right. $ и
$\delta(x) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(x)$

Угу, $\delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}\frac1\Delta $. Если это называется, что предел существует, то когда же он не существует?

[Йа Гринько]

вздымщик Цыпа в сообщении #181800 писал(а):

Если это называется, что предел существует, то когда же он не существует?

А вы знаете, что такое функциональная последовательность?

[ewert]

боюсь, что знает. Но ещё более боюсь, что не знает -- что такое последовательность функционалов на неопределённом множестве пробных функций.

[Йа Гринько]

вздымщик Цыпа в сообщении #181800 писал(а):

$\delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}\frac1\Delta $

И еще. По определению... $\delta(0) = +\infty$, поправьте если заблуждаюсь.

[ewert]

Поправлю. Это всего лишь жаргон, не имеющий хоть сколько-то точного математического смысла.

[Йа Гринько]

ewert в сообщении #181811 писал(а):

Это всего лишь жаргон

Но, зараза, удобный...особенно для механики и теории управления

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

nckg в сообщении #181692 писал(а):

$$\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}$$

По теме. Я все - таки склоняюсь к этой формуле, но еще попытаюсь завтра строго посчитать.