2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 дельта-функция в сферических координатах
Сообщение27.01.2009, 17:07 
Здравствуйте!

Недавно меня заинтересовал вопрос - как выглядит дельта функция
$\delta^{3}(x,y,z)=\delta(x)\cdot\delta(y)\cdot\delta(z)$
в сферических координатах?

В инете нашёл 2 противоречивых ответа:
1) $$\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}$$ (здесь и здесь)
2) $$\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}$$ (здесь и здесь)

Что является верным и почему?

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 18:07 
nckg в сообщении #181692 писал(а):
Что является верным и почему?

Тут такой забавный момент есть... Так как дельта-функция на самом деле никакая не функция, её определение в некотором смысле бессмысленно без указания правил интегрирования.

Плохо сказал. Не определение, а "расписывание по координатам"

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 18:38 
согласен, а где-нибудь в литературе этот момент (и вообще сабж) обсуждается?

Тут даже указать правила "интегрирования" не так-то просто.
Пусть $\psi(x,y,z)\in D(\mathbb R^3)$ --- основная функция, а $\widetilde\psi(r,\theta,\varphi)$ --- её вид в сферических координатах. Если мы попытаемся ввести "запись в сферических координатах"
$\widetilde f(r,\theta,\varphi)\in D'(\mathbb R^3)$ для какой-то обобщ. ф. $f(x,y,z)\in D'(\mathbb R^3)$, соответствующую интегрированию, то правило было бы таким:
$$(f,\psi)=(\widetilde f, \widetilde \psi \cdot r^2 \sin\varphi)$$
но правая часть не имеет смысла, т.к. $\widetilde \psi$ не является финитной...
и вообще не определена при $r<0$... то есть $\widetilde f(r,\theta,\varphi)$ уже не будет из $D'(\mathbb R^3)$...

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 18:48 
А кто сказал, что обобщенные функции можно записать в полярных координатах?

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 20:49 
извиняюсь, опечатался - речь идёт об $\mathbb R^3$ и о сферических координатах соответственно.

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

Поправил опечатки.
Можно сказать, что в этом и вопрос - можно ли записать обобщённую функцию из $D'(\mathbb R^3)$ в сферических координатах?

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 20:52 
Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел. Кстати, если у Вас есть сомнения, начните с $\delta(x,y)$.

По-моему, здесь двоякого толкования быть не должно. Кстати, т.к. приведенные Вами примеры различаются только константой, можно вычислить интеграл и проверить ответы.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 21:31 
Gortaur, не могли бы Вы уточнить, что Вы предлагаете понимать под записью $\delta(x,y)$ в полярных координатах? То есть что понимается под $\delta(r,\varphi)$?

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 21:40 
Gortaur в сообщении #181766 писал(а):
Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел.

Из-за того, что предела не существует, тут и начинаются чудеса.
Это как когда суммируем несходящийся ряд. Там можно получить всё что угодно. Тут произвола конечно поменьше, но ситуация похожая.

пошёл придумывать пример

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 21:56 
Gortaur в сообщении #181766 писал(а):
Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел

Вообще предел существует.
Надо только пределить функцию как предел:
$\delta_\Delta(x) =
\left\{ \begin{array}{l}
\frac1\Delta,\quad x\in[-\Delta,\Delta]\\
0,\quad x\notin[-\Delta,\Delta]
\end{array} \right.
$ и
$\delta(x) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(x)$

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:04 
Йа Гринько писал(а):
Gortaur в сообщении #181766 писал(а):
Возьмите последовательность, сходящуюся к $\delta(x,y,z)$, запишите ее в полярных координатах и вычислите предел

Вообще предел существует.
Надо только пределить функцию как предел:
$\delta_\Delta(x) =
\left\{ \begin{array}{l}
\frac1\Delta,\quad x\in[-\Delta,\Delta]\\
0,\quad x\notin[-\Delta,\Delta]
\end{array} \right.
$ и
$\delta(x) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(x)$
Угу, $\delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}\frac1\Delta $. Если это называется, что предел существует, то когда же он не существует? :)

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:16 
вздымщик Цыпа в сообщении #181800 писал(а):
Если это называется, что предел существует, то когда же он не существует?

А вы знаете, что такое функциональная последовательность?

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:23 
боюсь, что знает. Но ещё более боюсь, что не знает -- что такое последовательность функционалов на неопределённом множестве пробных функций.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:24 
вздымщик Цыпа в сообщении #181800 писал(а):
$\delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}}\delta_\Delta(0) = \lim\limits_{\Delta\to 0}\frac1\Delta $

И еще. По определению... $\delta(0) = +\infty$, поправьте если заблуждаюсь.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:27 
Поправлю. Это всего лишь жаргон, не имеющий хоть сколько-то точного математического смысла.

 
 
 
 
Сообщение27.01.2009, 22:34 
ewert в сообщении #181811 писал(а):
Это всего лишь жаргон

Но, зараза, удобный...особенно для механики и теории управления

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

nckg в сообщении #181692 писал(а):
$$\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}$$

По теме. Я все - таки склоняюсь к этой формуле, но еще попытаюсь завтра строго посчитать.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group