Абстрактная алгебра

[Еленочка]

При каком необходимом и достаточном условии система (r+1) n-мерных векторов ранга r имеет 1) один базис
2) два базиса
3) S базисов ($1\leqslant S\leqslant r+1$) ?








Ешё одно условие, которое мне не совсем понятно. Докажите, что любые две группы, содержащие лишь два элемента, изоморфны.
Получается элемент a в одной группе, а элемент b в другой? И как тогда доказать? (Пусть G и H две группы. Биекция f:$G\to H$ называется изоморфизмом, если для любых a, $b\in G$ f(a)*f(b)=f(ab) )

[Brukvalub]

Еленочка в сообщении #180365 писал(а):

Ешё одно условие, которое мне не совсем понятно. Докажите, что любые две группы, содержащие лишь два элемента, изоморфны.
Получается элемент a в одной группе, а элемент b в другой?

А где же в этих группах единицы? Напишите таблицу Кэли таких групп.

[Еленочка]

кто-нибуть первую задачу смог решить?

[Brukvalub]

Я смог.

[Еленочка]

Если система имеет один базис, то n=r+1. Если два базиса, то n=r+2. Если S базисов, то $r+1\leqslant n\leqslant 2r+1$ Правильно?

[Brukvalub]

Еленочка в сообщении #180570 писал(а):

Если система имеет один базис, то n=r+1.

Вот контрпример (векторы расположены по столбцам матрицы):

\[ \begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \]

[Еленочка]

Brukvalub писал(а):

Еленочка в сообщении #180570 писал(а):

Если система имеет один базис, то n=r+1.

Вот контрпример (векторы расположены по столбцам матрицы):

\[ \begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \]

У меня же рассматривается количество столбцов больше или равно количеству строк, а у вас наоборот. Может я где-то ошибаюсь?

[Brukvalub]

Еленочка в сообщении #180578 писал(а):

У меня же рассматривается количество столбцов больше или равно количеству строк, а у вас наоборот. Может я где-то ошибаюсь?

Это КАК ?

[Еленочка]

Я что-то не понимаю. Натолкните на мысль

[gris]

Векторы можно как угодно расположить - по строкам, по столбцам.
Что такое ранг системы векторов?
Какие два базиса можно считать различными?
Если есть один базис, то каким должен быть ещё один вектор, чтобы его нельзя было поменять ни с одним вектором из этого базиса?
Я думал, что нулевым, но пример Brukvaluba чего то ввёл в сомнение.
Ну то есть если два вектора имеют одинаковые координаты, то считаются ли они одним вектором или нет? Если их рассматривать как строки матрицы, то конечно считаются.
Если $a_1=a_2$, то будет ли базис $\{a_1, a_3\}$ отличаться от базиса $\{a_2, a_3\}$

[Еленочка]

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

базис состоит из линейно независимых векторов (ни один из базисных векторов не представим в виде конечной линейной комбинации остальных)

я думаю, что два базиса можно считать различными если они связаны между собой матрицей преобразования (подобие матрицы поворота), хотя возможно я и ошибаюсь?

я думаю, что нет такого вектора отличного от базисного, который нельзя было бы поменять ни с одним вектором из этого базиса, так как получится линейная комбинация базисных векторов (нулевой вектор это линейная комбинация базисных векторов с нулевыми координатами?)

Добавлено спустя 1 час 6 минут 23 секунды:

Куда все пропали, может кто нибуть ответить? или я совсем не в теме и непонимаю?

[Brukvalub]

Еленочка в сообщении #180605 писал(а):

или я совсем не в теме и непонимаю?

Я бы сказал - пока Вы не совсем в теме...

Еленочка в сообщении #180605 писал(а):

я думаю, что два базиса можно считать различными если они связаны между собой матрицей преобразования (подобие матрицы поворота), хотя возможно я и ошибаюсь?

Вот здесь неудачно.

Еленочка в сообщении #180605 писал(а):

я думаю, что нет такого вектора отличного от базисного, который нельзя было бы поменять ни с одним вектором из этого базиса, так как получится линейная комбинация базисных векторов (нулевой вектор это линейная комбинация базисных векторов с нулевыми координатами?)

А здесь - так совсем непонятно.

[Еленочка]

Какой же тогда ход решений или где нужно помотреть, я все пересмотрела и близко не подошла, а после ваших ответов Brukvalub совсем запуталась, спасибо.

[PAV]

Я не совсем понимаю условие первой задачи. Как я понимаю, базисные вектора выбираются из числа имеющихся предъявленных векторов?

Давайте рассуждать. Прежде всего разберемся со случаем, когда среди векторов есть совпадающие. Вопрос к автору - сколько может быть совпадающих векторов? Может ли быть в системе три одинаковых вектора? Может ли быть две пары одинаковых векторов? Попробуйте решить пример, который предложил Brukvalub. Для начала запишите хотя бы один базис. Затем придумайте какой-нибудь другой базис.

[ewert]

Условие-то понятно, не понятен вопрос. В каких терминах ответ-то предполагается?

А по существу ситуация достаточно очевидна. Пусть $\{a_1,a_2,\ldots,a_r\}$ -- какой-либо из базисов, и пусть $a_{r+1}=\sum_{i=1}^r\gamma_ia_i\,.$ Тогда для получения других базисов можно выкидывать те и только те $a_i$, коэффициенты $\gamma_i$ при которых не равны нулю. С вытекающими отсюда последствиями.