Да, именно так. До меня тоже(после того как написал здесь) дошло, что нужно рассматривать дополнения - тогда теорема Хелли все дает. Результат этот получен Радоном в самом начале 1900х. Доказательство, приведенное neo66, принадлежит также Яглому и Болтянскому.
Так как я решал изначально в "дискретной" постановке, то предложу еще такой вариант. В основе - теорема Тверберга(довольно нетривиальный факт): пусть в

имеется

различных точек. Тогда их можно разбить на

непересекающихся групп так, что их выпуклые оболочки имеют хотя бы одну общую точку. Пусть у нас есть

точек в общем положении(иначе возникают очевидные оговорки). Возьмем точку в пересечении выпуклых оболочек

групп, тогда по каждую сторону любой прямой будет хотя бы по одной точке из каждой из

групп. Так как масса каждой точки

, то всего получим

.
Если интересно, попробуйте получить доказательство теоремы Тверберга(скажем, для плоскости).