Кусок торта

[juna]

Да, Вы правы. Я написал глупость.

[neo66]

Юстас писал(а):

Говорят, что теоремы Хелли должно быть достаточно, но я умею только, что называется, "из пушки по воробьям".
Из теоремы Хелли получается только $\frac{100}{2(n+1)}$ - в 2 раза хуже.

Теоремы Хелли достаточно. Для простоты рассмотрим плоский непрерывный случай в постановке TOTAL.

Фиксируем произвольное направление, то есть класс параллельных прямых на плоскости. Из этого класса выберем прямую, по одну сторону которой окажется ровно $\frac 2 3 + \varepsilon$ всей площади клякс. Фиксируем соответствующую полуплоскость.

Лемма: Любые $3$ такие полуплоскости пересекаются.
Следствие: Все такие полуплоскости пересекаются.

Возьмем эту самую точку пересечения. Она искомая, то есть с любой стороны от любой прямой, проходящей через эту точку находится как минимум $\frac 1 3 - \varepsilon$ площади клякс.

Дальше уже нетрудно доказать, что найдется нужная точка, (то есть с $\varepsilon=0$).

[Юстас]

Да, именно так. До меня тоже(после того как написал здесь) дошло, что нужно рассматривать дополнения - тогда теорема Хелли все дает. Результат этот получен Радоном в самом начале 1900х. Доказательство, приведенное neo66, принадлежит также Яглому и Болтянскому.
Так как я решал изначально в "дискретной" постановке, то предложу еще такой вариант. В основе - теорема Тверберга(довольно нетривиальный факт): пусть в $\mathbb{R}^n$ имеется $>r(n+1)$ различных точек. Тогда их можно разбить на $r+1$ непересекающихся групп так, что их выпуклые оболочки имеют хотя бы одну общую точку. Пусть у нас есть $(r+1)(n+1)$ точек в общем положении(иначе возникают очевидные оговорки). Возьмем точку в пересечении выпуклых оболочек $r+1$ групп, тогда по каждую сторону любой прямой будет хотя бы по одной точке из каждой из $r+1$ групп. Так как масса каждой точки $\frac{1}{(r+1)(n+1)}$, то всего получим $(r+1)\cdot \frac{1}{(r+1)(n+1)}=\frac{1}{n+1}$.
Если интересно, попробуйте получить доказательство теоремы Тверберга(скажем, для плоскости).