Неунитарные операторы эволюции

[AlexDem]

Ссылка: Унитарное преобразование

Цитата:

Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

А какие операторы эволюции разрешены для НЕизолированной квантовой системы кто-нибудь знает?

[Munin]

А НЕизолированная квантовая система вообще описывается не эволюцией квантовой функции, а эволюцией оператора (или матрицы) плотности. А с другой стороны, эволюция оператора плотности тоже сама по себе унитарна. Просто эта эволюция для незамкнутой системы уже не обязательно получается из некоторого гамильтониана.

[AlexDem]

Немного не то. Подход с использованием матрицы плотности здесь не подойдёт, ведь в случае чистых исходных и конечных состояний $U|c><c|U^{-1}$ это в точности то же самое, что $U|c>$. То есть использование матрицы плотности вместо вектора состояния ничего не меняет. Он помогает только тогда, когда конечное состояние $U|c>$ получается несепарабельным.

Допустим у нас система $c = a \otimes b = \frac{1}{\sqrt 2}(0\ 0\ 1\ 1)'$ состояла из двух невзаимодейсвующих подсистем $a = (0\ 1)'$ и $b = \frac{1}{\sqrt 2}(1\ 1)'$. Пусть в процессе эволюции часть $b$ улетела (система открытая) без всякого взаимодействия с $a$, в то время как $a$ не изменилась (оператор эволюции для неё - тождественный). Для описанной ситуаци имеем оператор $F$: $a = F(c)$, возвращающий первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует. В противном случае считаем оператор $F$ не определённым на состоянии $c$.


Исходное состояние $c$ можно переписать в виде $c = d + g$:
$\frac{1}{\sqrt 2}(0\ 0\ 1\ 1)' = \frac{1}{\sqrt 2}(0\ 0\ 0\ 1)' + \frac{1}{\sqrt 2}(0\ 0\ 1\ 0)'$.


Для линейного оператора должно быть:
$F(\alpha d + \alpha g) = \alpha F(d) + \alpha F(g)$


В то время как, например, при $\alpha = \sqrt 2$ у нас получается:
$F(\sqrt 2 d + \sqrt 2 g) = F(\sqrt 2 c) = \sqrt 2 F(c) = \sqrt 2 a$

но:
$\sqrt 2 F(d) + \sqrt 2 F(g) = F(\sqrt 2 d) + F(\sqrt 2 g) = a + a = 2a$

То есть оператор $F$ получается нелинейным. Вроде так?
Тогда никакие матрицы здесь не помогают.

[Munin]

AlexDem в сообщении #180056 писал(а):

Немного не то. Подход с использованием матрицы плотности здесь не подойдёт, ведь в случае чистых исходных и конечных состояний

А вот этого в незамкнутых системах как раз практически и не бывает. А если бывает - система по сути замкнута (может быть представлена как замкнутая).

А вот нелинейности в КМ не возникает. Никогда и нигде.

[AlexDem]

Munin в сообщении #180073 писал(а):

А вот нелинейности в КМ не возникает. Никогда и нигде.

Так она и не возникает, если рассматривать систему целиком... Но где ошибка в том, что я написал выше? Смотрю - не вижу. Вроде везде реализуемые состояния рассмотрел.

[Munin]

Вы задаёте F как нелинейный уже тогда, когда считаете его когда-то неопределённым. После этого пользоваться его линейностью уже нельзя. Это первая ошибка.

И вторая: если часть системы улетает, не взаимодействуя с другой частью, то эта другая может считаться замкнутой.

[AlexDem]

Munin в сообщении #180110 писал(а):

Вы задаёте F как нелинейный

$F$ - это оператор, возвращающий первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует. К этому надо добавить, что он умеет возвращать только вектор из двух элементов, иначе - тоже неопределён. Вроде здесь в определении нет нелинейности.

Munin в сообщении #180110 писал(а):

если часть системы улетает, не взаимодействуя с другой частью, то эта другая может считаться замкнутой.

Безусловно так. При этом $Ua = Fc$, $U$ - линейный унитарный, $F$ - нет.

[Munin]

AlexDem в сообщении #180116 писал(а):

это оператор, возвращающий первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует.

Ага. По этому определению он не линейный.

Вообще, "раскладывается - не раскладывается" - это наш человеческий взгляд, в линейных терминах такого не бывает.

[AlexDem]

Munin в сообщении #180128 писал(а):

Ага. По этому определению он не линейный.

Вы имеете в виду потому, что не всюду определён? Дифференциальный оператор тоже не везде определён, но это - неограниченный линейный оператор.

[Munin]

Это не аргумент. Дело в том, что вы обращаетесь с F, как будто он всюду определён. Записываете $F(\alpha d+\alpha g)=\alpha F(d)+\alpha F(g),$ а ведь уже ни $F(d),$ ни $F(g)$ не определены.

[AlexDem]

Ага, я ещё и корень под него заношу и выношу, как будто он линеен, то есть обращаюсь с ним как с линейным оператором, а он не хочет

[Munin]

Нет, глупость именно там, где я сказал. У вас слева существующее выражение, справа несуществующее, а вы между ними знак равенства ставите.

[AlexDem]

Не ставлю. Хотя, для устранения путаницы и стоило, видимо, написать:

AlexDem мог бы писал(а):

Для линейного оператора должно быть:
$A(\alpha \varphi + \alpha \psi) = \alpha A(\varphi) + \alpha A(\psi)$

[AD]

Еще раз. Почему из того, что оператор определен на $\varphi+\psi$ следует, что оператор определен на $\varphi$ и на $\psi$?

[AlexDem]

AD, не понимаю, а зачем? Если для того, чтобы оператор не был линейным, нужно, чтобы либо он не был определён на всём векторном (под)пространстве, либо не удовлетворял условию $A(\alpha x + \beta y) = \alpha Ax + \beta A y$.

Первое условие я не проверял, достаточно, что второе не выполняется. Предположив, что оператор линейный, пришли к противоречию. Разве не так?