задача Штурма-Лиувилля (диффузия в трубке)

[Spook]

Диффузия в трубке. На левом конце трубки поддерживается заданная концентрация диффузанта, на правом происходит обмен с внешней средой по закону Ньютона. Требуется поставить краевую задачу для заданной физической проблемы и решить соответствующую задачу Штурма-Лиувилля.

Вот, что получилось у меня. Решить следующую задачу :
$u_t=a^2u_{xx},$ $0<x<l,$ $0<t\leqslant T$
$u(0,t)=\theta_1$, $0\leqslant t\leqslant T$
$u_x(l,t)=-h(u(l,t)-\theta_2(t))$, $0\leqslant t\leqslant T$

Решения будем искать в виде $u(x,t)=X(x)T(t)$. Граничные условия дают:
$u(0,t)=X(0)T(t)=\theta_1$, значит $T(t)=const$. Положим $T=1$.
$u_x(l,t)=X'(l)=-h(X(l)-\theta_2(t))$, значит задача корректна только при $\theta_2=const$.
Получаем задачу Штурма-Лиувилля:
$ \left\{ \begin{array}{l} X''+\lambda X=0,\\ X(0)=\theta_1; X'(l)=-h(X(l)-\theta_2) \end{array} \right. $
найти такие $\lambda$ и $X$, при которых система имеет нетривиальное решение. Далее рассматриваем три случая для $\lambda$.
В общем, задача Штурма-Лиувилля поставлена неверно, но где ошибка я не знаю.

[V.V.]

Условии в ШЛ должны быть однородными.

[Spook]

V.V., то есть $\theta_1=\theta_2=0$? Получается что ЗШЛ для данной краевой задачи ставится, только если концентрация на левом конце поддерживается нулевой, и концентрация вещества в окружающей среде на правом конце тоже равна нулю?

[ewert]

Предыдущее замечание означает вот что. Вычтите из искомой функции любую, удовлетворяющую только граничным условиям. В простейшем варианте она будет квадратична по иксам. И, соотв., внесёт постоянный вклад в правую часть уравнения теплопроводности. (А, у Вас диффузии? -- ну не имеет значения.)

Ну а потом честно и спокойно раскладывайте то решение по СФ соотв. ЗШЛ.

Ну, конечно, придётся решать временнЫе неоднородные уравнения, но т.к. правые части суть константы, то это -- не проблема.

--------------------------------------------------------------------------------------------
пардон, я ошибся. Граничные условия зависят неочевидным образом от времени, поэтому и те самые правые части не будут постоянными.
Но и это не имеет значения: ведь это -- всего-навсего уравнения 1-го порядка по времени, и потому уверенно решаются методом вариации...

[Spook]

Хм.. А почему есть зависимость от времени? У меня же на концах постоянная концентрация.

[ewert]

да у Вас там какая-то тета от тэ в гр.усл. присутствует, я в детали не вникал

[Spook]

Ну это же общий вид краевой задачи третьего рода (для правого конца), просто именно в моем случае $u(t,x)=X(x)$, т.к. иначе не выполнялось бы $u(0,t)=X(0)T(t)=const$.

[ewert]

ну извините, мне всё же лень думать. Просто есть общий принцип: прежде чем раскладывать, следует сделать подстановку, после которой граничные условия станут однородными.

И этот принцип не с потолка взялся. Пока гр.усл. неоднородны -- и соотв. дифоператор по иксам нелинеен. А тогда и его разложение бессмысленно.

[Spook]

Хорошо, спасибо. Попробую через подстановку.

[Spook]

Задачу решил, правда появился непонятный момент: решение может в некоторых точках принимать отрицательные значения, что вроде как противоречит тому, что концентрация - это отношение числа частиц к объему. Как это пояснить? М.б. считать за нуль минимальную концентрацию, а все остальные значения будут относительно нее?