2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задача Штурма-Лиувилля (диффузия в трубке)
Сообщение17.01.2009, 19:28 
Аватара пользователя
Диффузия в трубке. На левом конце трубки поддерживается заданная концентрация диффузанта, на правом происходит обмен с внешней средой по закону Ньютона. Требуется поставить краевую задачу для заданной физической проблемы и решить соответствующую задачу Штурма-Лиувилля.

Вот, что получилось у меня. Решить следующую задачу :
$u_t=a^2u_{xx},$ $0<x<l,$ $0<t\leqslant T$
$u(0,t)=\theta_1$, $0\leqslant t\leqslant T$
$u_x(l,t)=-h(u(l,t)-\theta_2(t))$, $0\leqslant t\leqslant T$

Решения будем искать в виде $u(x,t)=X(x)T(t)$. Граничные условия дают:
$u(0,t)=X(0)T(t)=\theta_1$, значит $T(t)=const$. Положим $T=1$.
$u_x(l,t)=X'(l)=-h(X(l)-\theta_2(t))$, значит задача корректна только при $\theta_2=const$.
Получаем задачу Штурма-Лиувилля:
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
X''+\lambda X=0,\\ 
X(0)=\theta_1; X'(l)=-h(X(l)-\theta_2) 
\end{array} \right. 
$
найти такие $\lambda$ и $X$, при которых система имеет нетривиальное решение. Далее рассматриваем три случая для $\lambda$.
В общем, задача Штурма-Лиувилля поставлена неверно, но где ошибка я не знаю.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 19:31 
Условии в ШЛ должны быть однородными.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 19:35 
Аватара пользователя
V.V., то есть $\theta_1=\theta_2=0$? Получается что ЗШЛ для данной краевой задачи ставится, только если концентрация на левом конце поддерживается нулевой, и концентрация вещества в окружающей среде на правом конце тоже равна нулю?

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 19:41 
Предыдущее замечание означает вот что. Вычтите из искомой функции любую, удовлетворяющую только граничным условиям. В простейшем варианте она будет квадратична по иксам. И, соотв., внесёт постоянный вклад в правую часть уравнения теплопроводности. (А, у Вас диффузии? -- ну не имеет значения.)

Ну а потом честно и спокойно раскладывайте то решение по СФ соотв. ЗШЛ.

Ну, конечно, придётся решать временнЫе неоднородные уравнения, но т.к. правые части суть константы, то это -- не проблема.

--------------------------------------------------------------------------------------------
пардон, я ошибся. Граничные условия зависят неочевидным образом от времени, поэтому и те самые правые части не будут постоянными.
Но и это не имеет значения: ведь это -- всего-навсего уравнения 1-го порядка по времени, и потому уверенно решаются методом вариации...

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 19:49 
Аватара пользователя
Хм.. А почему есть зависимость от времени? У меня же на концах постоянная концентрация.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 19:54 
да у Вас там какая-то тета от тэ в гр.усл. присутствует, я в детали не вникал

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 20:02 
Аватара пользователя
Ну это же общий вид краевой задачи третьего рода (для правого конца), просто именно в моем случае $u(t,x)=X(x)$, т.к. иначе не выполнялось бы $u(0,t)=X(0)T(t)=const$.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 20:07 
ну извините, мне всё же лень думать. Просто есть общий принцип: прежде чем раскладывать, следует сделать подстановку, после которой граничные условия станут однородными.

И этот принцип не с потолка взялся. Пока гр.усл. неоднородны -- и соотв. дифоператор по иксам нелинеен. А тогда и его разложение бессмысленно.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 20:15 
Аватара пользователя
Хорошо, спасибо. Попробую через подстановку.

 
 
 
 
Сообщение21.01.2009, 17:06 
Аватара пользователя
Задачу решил, правда появился непонятный момент: решение может в некоторых точках принимать отрицательные значения, что вроде как противоречит тому, что концентрация - это отношение числа частиц к объему. Как это пояснить? М.б. считать за нуль минимальную концентрацию, а все остальные значения будут относительно нее?

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group