Исследование функции (найти точку перегиба)

[Neytrall]

Дана функция $y=x^3+2e^x-3x^2+4x+1$
Я нашёл вторую производную:
$6x+2e^x-6$ что бы найти точку изгиба прировнял её к нулю
и у меня вышло вот это:
$x=ln(3-3x)$

Подскажите, как это решается?

[Алексей К.]

(1) Это не решается. Только численными методами. Обычно советуют проверить условие.
(2) Эта точка называется обычно точкой перегиба.
(3) Вообще-то трудности должны были начаться ещё с первой производной, при поиске экстремумов. Вы их как-то обошли?

[Йа Гринько]

такие уравнения называются трансцендентными и решаются только численно

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #179649 писал(а):

Вы их как-то обошли?

Да, и я их легко обошёл...

[Neytrall]

В задании просят доказать, что у функции есть одна точка перегиба. Экстремумы я даже не искал.

[Йа Гринько]

Neytrall писал(а):

В задании просят доказать, что у функции есть одна точка перегиба. Экстремумы я даже не искал.

Можно это показать графически...нарисовать график
$y=x$ и $y =\ln(3-3x) $ и ткнуть пальцем в точку пересечения

[Алексей К.]

Значит, надо доказать, что у Вашего уравнения $x=\ln(3-3x)$есть ровно один корень. Решать его для этого необязательно. Считаю, совет "проверить условие" удачным.

Добавлено спустя 5 минут 6 секунд:

У меня само доказалось. Получается?

[Neytrall]

Алексей К. писал(а):

совет "проверить условие" удачным.

Что значит проверить условие?

[Алексей К.]

Забудьте про это.

Neytrall в сообщении #179652 писал(а):

В задании просят доказать, что у функции есть одна точка перегиба.

Ну, когда Вы уточнили задачу, всё стало ясно. А сначала, когда было "исследовать функцию", казалось, что условие списано неправильно.

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

Подсказка: теперь исследуйте ф-цию $f(x)=x-\ln(3-3x)$. Вас интересует только её монотонность и значения на концах области определения. Если всё окажется тип-топ, то корень уравнения $f(x)=0$ только один, точка перегиба одна, и можно идти гулять.

[ewert]

Neytrall в сообщении #179652 писал(а):

В задании просят доказать, что у функции есть одна точка перегиба. Экстремумы я даже не искал.

Там уже были рекомендации, но геометрия тут необязательна.
Приравнивая нулю вторую производную -- Вы приравниваете друг к другу две функции: линейную и экспоненту. Причём одна из них возрастает, другая же -- убывает. Естественно, пересекаться они могут не более чем в одной точке.

Ну и пересекаются-таки, чуть более детальный анализ делает это очевидным..

[Йа Гринько]

ewert писал(а):

Причём одна из них возрастает, другая же -- убывает. Естественно, пересекаться они могут не более чем в одной точке.

Оффтоп: Вообще говоря две монотонные функции могут пересечься и в 2-х точках.

[Neytrall]

Спасибо. Помогите мне, пожалуйста, ещё с такой функцией:

$g=x(x+1)^\frac {2} {3}$

Я попробывал найти экстремумы. Получилось что в точке $-\frac {3} {5}$ производная равна нулю, но дальше у меня вообще получилость, что производная по обеим сторонам точки больше нуля.
Попробывал найти вторую производную, прировнял к нулю получилось, что $x=\frac {6} {5}$

Проверьте меня пожалуйста. Чувствую, что где-то ошибся, а где не пойму.

[Йа Гринько]

Neytrall писал(а):

Спасибо. Помогите мне, пожалуйста, ещё с такой функцией:

$g=x(x+1)^\frac {2} {3}$

Я попробывал найти экстремумы. Получилось что в точке $-\frac {3} {5}$ производная равна нулю, но дальше у меня вообще получилость, что производная по обеим сторонам точки больше нуля.
Попробывал найти вторую производную, прировнял к нулю получилось, что $x=\frac {6} {5}$

Проверьте меня пожалуйста. Чувствую, что где-то ошибся, а где не пойму.

А в чем проблема? Посчитал....производная меняет знак.

[Neytrall]

Во-первых я не уверен в числах, что получил.
Во-вторых я не понимаю, как такое может быть, что при производной равной нулю есть икс, но он не экстремум ( значит это точка перегиба). А при помощи второй производной я нахожу другую точку перегиба.

[ewert]

Йа Гринько в сообщении #179665 писал(а):

Оффтоп: Вообще говоря две монотонные функции могут пересечься и в 2-х точках.

утверждение неверно в двух отношениях (в одну сторону -- стилистически, в противоположную -- просто рассеянность)

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Neytrall в сообщении #179672 писал(а):

Во-вторых я не понимаю, как такое может быть, что при производной равной нулю есть икс, но он не экстремум ( значит это точка перегиба). А при помощи второй производной я нахожу другую точку перегиба.

ну и что это за (боюсь привести аббревиатуру)?... какое отношение равенство нулю первой производной имеет к перегибам?!...