Монотонность убывания ошибки в численном решении урчп

[ewert]

я не понял вопроса, но всё же попытаюсь ответить.

Дело в том, что норма оператора $L_h^{-1}$ отвечает за устойчивость только соотв. стационарной задачи (когда производная по времени исчезает).

А устойчивость нестационарной задачи определяется не просто нормой, а спектром.

Оператор $A_h$ отрицателен. В принципе -- потому, что исходный дифференциальный оператор отрицателен (а теперь всё же исправьте знак в Вашей версии уравнения теплопроводности). Соответственно, и спектр у него отрицателен.

Обычная неявная схема сводится к соотношению $\vec u_{n+1}=(I-\tau A_h)^{-1}\,\vec u_n$. Схама Кранка-Николсона -- к $\vec u_{n+1}=(I-{\tau\over2} A_h)^{-1}(I+{\tau\over2} A_h)\,\vec u_n$. В обоих случаях отрицательность оператора $A_h$ гарантирует, что спектр оператора в правой части зажат в интервале от 0 до 1. Это и обеспечивает абсолютную устойчивость, независимо от соотношения шагов.

А вот для явной схемы будет $\vec u_{n+1}=(I+\tau A_h)\,\vec u_n$, и малость собственных чисел оператора справа становится уже нетривиальной. Собственные числа $A_h$ зажаты между $(-1)$ и $\left(-{1\over h^2}\right)$ -- с точностью до постоянных множителей. Отсюда и возникает условие устойчивости $\tau<{\rm const}\cdot h^2$.

[zedr0n]

Понятно. Но получается, что для абсолютно устойчивой схемы норма ошибки будет тогда убывать при увеличении количества шагов(если производные ограничены)?

И обладают ли эти схемы свойством переводить положительные элементы в положительные(т.е нет осцилляций)?

[zedr0n]

а знак там все-таки точно такой

\cdot \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) + \frac{1}{2} a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x) + r(t,x)u(t,x) = 0

[ewert]

А вот упорствуете Вы напрасно -- знак там точно противоположный.

И чтоб не путаться в таких ньюансах, а подходить к делу сознательно, следует твёрдо помнить: оператор двукратного дифференцирования -- отрицателен. И именно по этой причине для стандартной записи простейшего уравнения:

$u'_t=a^2u''_{xx} \qquad\Longleftrightarrow\qquad u'_t=A\,u, \qquad A\equiv a^2{\partial^2\over\partial x^2$

решение в операторной форме: $u=e^{tA}u_0$ будет с ростом времени экспоненциально именно убывать. Как и должно быть по физическому смыслу задачи.

[zedr0n]

Хм, к физике данная задача мало относится, это финмат.
Если конкретно, то цена опциона в hjm, соответственно, и время конечно, урчп практически такое же, как в уравнении Блэка-Шоулза, все-таки u_t + u_{xx}

[ewert]

в финансах я абсолютно невежественен, и даже не хочу быть вежественным. Твёрдо знаю одно: эти финансисты вечно какую-нибудь подлянку подсунут. Вплоть до экспоненциально растущих решений.

(А под решениями, разумеется, понимаются потери рядового обывателя -- ведь надо же тем финансистам на что-то жить, а для этого надобно кого-то обстричь.)

[zedr0n]

Чем плохи экспоненциально растущие решения, если время ограничено...

Финансы в данном случае абсолютно не при чем, это просто слупы по сути. Само уравнение получается применением формулы фейнмана-каца для соответстующего мат ожидания - кроме математики тут ничего нет.

Мне интересно, почему для урчп именно такого вида я наблюдаю монотонное убывание ошибки. Мое предположение почему я сформулировал ранее, но строго доказать его не могу(да и не уверен на 100% в его правильности).

[ewert]

а я вот не понимаю, как при экспоненциально растущем решении может наблюдаться убывание погрешности. Такое если и возможно, то только на специальных и очень тщательно подобранных частных случаях.

Ну а почему легкомысленный подход к оценкам результата заведомо не даст -- я и попытался сказать (уж не знаю, насколько удачно).

[zedr0n]

Хм, может потому что граничые условия даны для t=T? а под решением я понимаю u(0,x).

Похоже, что простыми рассуждениями тут не отделаться

[Gafield]

zedr0n писал(а):

Хм, может потому что граничые условия даны для t=T? а под решением я понимаю u(0,x).

Похоже, что простыми рассуждениями тут не отделаться

Граничные, в смысле начальные? Если они заданы на верхней крышке цилиндра, то получается таки уравнение теплопроводности, только ось времени в другую сторону.
А насчет положительности, не знаю как эта, а вообще хорошие схемы повторяют свойства решений. Консервативные - закон сохранения энергии. Некоторые удовлетворяют принципу максимума (дискретному, на сетке). Тут вопрос в насколько общем случае монотонное убывание погрешности. Если на одном решении, то это еще может ни о чем не говорить, а если в достаточно общем, то может и верно, и причина простая. Напр., из принципа максимума или чего-то похожего вытекать при соответсвующих условиях на граничные данные.