Сумма всех натуральных чисел

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #176779 писал(а):

Что-то я не совсем понимаю. Если проделать всё то, что по Вашему проделал Эйлер, то получается

$$ \int \sum_{n=1}^\infty nx^n = \sum_{n=1}^\infty \int nx^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n+1}}{n+1} $$

И что делать дальше?

Нужно было первым делом разделить "сумму" на х, а уж потом интегрировать

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #176779 писал(а):

Что-то я не совсем понимаю. Если проделать всё то, что по Вашему проделал Эйлер, то получается

$$ \int \sum_{n=1}^\infty nx^n = \sum_{n=1}^\infty \int nx^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n+1}}{n+1} $$

И что делать дальше?

Нужно было первым делом разделить "сумму" на х, а уж потом интегрировать

Ну хорошо, давайте так. Для $S(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$ имеем

$$ \int S(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \int n x^{n-1} dx = \sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} - 1 $$

и

$$ S(x) = \left( \frac{1}{1-x} - 1 \right)' = \frac{1}{(1-x)^2}, $$

так что

$$ 1 + 2 + \ldots = S(1) = +\infty $$

Всё в порядке, никаких странных "числовых" значений вроде $-1/12$. Наверное, Эйлер всё-таки что-то не то делал.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #177512 писал(а):

Всё в порядке, никаких странных "числовых" значений вроде $-1/12$. Наверное, Эйлер всё-таки что-то не то делал.

1. Вы забыли домножить проинтегрированную сумму на х.
2. Даже если учесть домножение - получается "бяка".
3. Значит, Эйлер делал не так.

[mkot]

Профессор Снэйп писал(а):

$$ S(x) = \left( \frac{1}{1-x} - 1 \right)' = \frac{1}{(1-x)^2}, $$

$$ 1 + 2 + \ldots = S(1) = +\infty $$

Зато $S(-1) = 1 -2 + 3 - 4 + 5 - \ldots = \frac{1}{4}$ (здесь и далее всё формально).
Далее $2\cdot 2 \cdot S(1) = 2\cdot 2 + 2\cdot 4 + 2\cdot 6 +2\cdot 8 + 2\cdot 10 + \ldots$,
Затем $S(1) - 2 \cdot 2 \cdot S(1) = 1 + 2 - 2\cdot 2 + 3 + 4 - 2\cdot 4 + 5 + 6 - 2\cdot 6+ \ldots =$
$=1 - 2 + 3 - 4 + 5 - \ldots = S(-1)$,
Откуда $-3\cdot S(1) = S(-1)$, следовательно, $S(1) = -\frac13 S(-1) = -\frac13 \cdot \frac14 = -\frac{1}{12}$. :)

см. math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf

[Профессор Снэйп]

mkot писал(а):

Откуда $-3\cdot S(1) = S(-1)$, следовательно, $S(1) = -\frac13 S(-1) = -\frac13 \cdot \frac14 = -\frac{1}{12}$.

Хитро

Интересно, для каких действительных чисел $a$ подобными вывертами можно "доказать", что $S(1) = a$? Ясно, что множество таких чисел не более чем счётно. Пока что мы знаем лишь одно значение $a = -1/12$.

[juna]

Эйлер доказал, что
$\zeta(2k)=(-1)^{k+1}\frac{2^{2k-1}B_{2k}\pi^{2k}}{(2k)!}$
и догадался, что $\zeta(-m)=-\frac{B_{m+1}}{m+1}$
выражая числа Бернулли из этих равенств, приходим к фукциональному уравнению связи $\zeta(1-2k)$ и $\zeta(2k)$, которое строго обосновал Риман.
Так что

Профессор Снэйп писал(а):

Пока что мы знаем лишь одно значение $a = -1/12$.

если будем приписывать другое значение, впадем в противоречие со сказанным.

Добавлено спустя 10 минут 57 секунд:

Лукомор в сообщении #177504 писал(а):

Верно ли, что $2+2+2+...=2\cdot(1+1+1+...)=2\cdot(-1/2)=-1$ ?

В некотором смысле, да.

[Лукомор]

juna писал(а):

В некотором смысле, да.

Тогда получается, что
$2+2+2+2...<1+1+1+1...$

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

если будем приписывать другое значение, впадем в противоречие со сказанным.

Мы уже давно впали в противоречие со здравым смыслом, приписав сумме положительных целых чисел отрицательное дробное значение.

Раз это нас не остановило, то не остановит уже ничто. Впадать так впадать!

[вздымщик Цыпа]

Профессор Снэйп в сообщении #178897 писал(а):

Мы уже давно впали в противоречие со здравым смыслом, приписав сумме положительных целых чисел отрицательное дробное значение.

Главное, чтобы конструкция не была внутренне противоречивой. А здавый смысл мы давно из системы аксиом выкинули и он нам не мешает

[juna]

Профессор Снэйп писал(а):

Мы уже давно впали в противоречие со здравым смыслом, приписав сумме положительных целых чисел отрицательное дробное значение.

Дайте определение "здравого смысла", тогда будет возможность проверить впали ли мы с ним в противоречие.
На самом деле все интереснее, например, можно аргументировать как раз "здравым смыслом", почему следует считать, что
$\frac{\pi^2}{6}=\frac{3}{2}+\sum\limits_{i=2}^{\infty}B_i$, где $B_i$ - числа Бернулли.

[Лукомор]

На мой взгляд отрицательное дробное значение суммы положительных целых чисел ни в коей мере не противоречит "здравому смыслу".
Однако здравый смысл и предыдущий опыт подсказывают мне, что вряд ли стоит приводить здесь аргументы в пользу подобного утверждения.
Затопчут!

[mkot]

Профессор Снэйп писал(а):

Мы уже давно впали в противоречие со здравым смыслом, приписав сумме положительных целых чисел отрицательное дробное значение.

Раз это нас не остановило, то не остановит уже ничто. Впадать так впадать!

Есть такая книга Харди Расходящиеся ряды. Там приведены рассуждения,
что считать суммой расходящегося ряда.
Цитата оттуда:

Цитата:

Предположим, например, что нам дано какое угодно определение суммы ряда, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(A) если $\sum a_n = s$, то $\sum ka_n = ks$;
(Б) если $\sum a_n = s$ и $\sum b_n = t$, то $\sum(a_n+b_n) = s+t$;
(В) если $a_0+a_1+a_2+\ldots = s$, то $a_1+a_2+a_3+ \ldots = s-a_0$
и обратно.

[вздымщик Цыпа]

mkot в сообщении #179081 писал(а):

Есть такая книга Харди Расходящиеся ряды. Там приведены рассуждения,
что считать суммой расходящегося ряда.

Сумма $1+1+1+1+...=-1/2$ явно этим рассуждениям не удовлетворяет.

[Cave]

А имеют эти суммы какое-нибудь отношение к продолжению линейного функционала - предела последовательности - с пространства сходящихся последовательностей на пространство всех ограниченных последовательностей?
Конечно, натуральные числа таким способом не просуммируешь, бесконечное число единиц тоже, но хотя бы $1 - 1 + 1 -1 + \ldots$ или $1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + \ldots$?

[Профессор Снэйп]

$$ 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12} $$

$$ 2 + 4 + 6 + \ldots = -\frac{1}{24} $$

$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$

С другой стороны,

$$ 2 + 4 + 6 + \ldots = (1 + 3 + 5 + \ldots) + (1 + 1 + 1 + \ldots) $$

так что $1 + 1 + 1 + \ldots = 0$.