Нестандартное дифференцирование

[Gortaur]

Вопрос:

пусть $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$. Предположим, что $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{\sqrt{h}} = g(x) \neq 0$ для любого $x\in [0,1]$.
Можно ли построить такую функцию f?

К примеру, если $g(x)\equiv 1$, то надо интегрировать g, но по мере $\sqrt{dx}$ - то есть не мере Лебега (т.к. при малых $dx$ она не аддитивна, а лишь полуаддитивна).

[AD]

То есть ясно, что $f$ будет нигде не дифференцируемой, да? Ну тогда надо, видимо, присматриваться к примерам таких функций, скажем, к лакунарным рядам Фурье.

Добавлено спустя 48 минут 37 секунд:

Не, скорее всего, не существует такой. Если предел этой штуки равен не нулю, то в этой точке обыкновенная производная, видимо, равна либо $+\infty$, либо $-\infty$. Теперь см. С.Сакс "Теория интеграла", глава IX, теорема 4.4:

Цитата:

Для каждой всюду конечной функции $F$ множество точек $x$, в которых

$$\lim_{h\to0+}\frac{F(x+h)-F(x)}h=+\infty$$

, имеет меру нуль.

[STilda]

а если в комплексной области? $h$ комплексное, $f$ комплексная. Что-то получится?

[AD]

Ну тогда ограничим на действительную ось, и на ней обнаружим то же самое.

[STilda]

область аргумента? Но тогда имеем, что действительная ось имеет меру ноль на комплексной плоскости, можно пренебречь.

[Brukvalub]

STilda в сообщении #177546 писал(а):

а если в комплексной области? $h$ комплексное, $f$ комплексная. Что-то получится?

Не получится.
Да и, вообще, если пытаться бездумно менять определения известных понятий в надежде получить новые результаты в математике, то обычно ничего не получается. Понятия возникают не сами по себе, а в результате решения каких-то задач, поэтому они тщательно выверены и произвольное их уродование ни к чему разумному не приводит.

[AD]

STilda в сообщении #177693 писал(а):

Но тогда имеем, что действительная ось имеет меру ноль на комплексной плоскости, можно пренебречь.

Нет. Подумайте как следует. Соотношения Данжуа применяются уже после ограничения.

[geomath]

А что изменится в рассуждениях, если в знаменателе предела, определяющего $g$, поставить не корень, а квадрат?

[Brukvalub]

Дифференцируемыми окажутся лишь те функции, которые в малой окрестности точки "хорошо" аппроксимируются квадратичной функцией. А кому такое нужно?

[AD]

Ну то есть тоже ясно, что не существует таких. Если у функции производная всюду равна нулю (а так и будет, ведь для всех $x$ будет $f(x+h)-f(x)=O(h^2)$), то эта функция - константа (если кто-то этого не умеет доказывать - тоже можно в Саксе смотреть ), и, следовательно, "мегапроизводная" будет равна нулю, а этого не хочется.

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

То есть можно так подытожить: ни одна уважающая себя функция не может быть ни "всюду плоской", ни "всюду вертикальной".

[Brukvalub]

AD в сообщении #177722 писал(а):

Ну то есть тоже ясно, что не существует таких.

И даже в одной точке такое дифференцирование невозможно?

[AD]

Brukvalub писал(а):

И даже в одной точке такое дифференцирование невозможно?

На множестве меры нуль может много что быть ... Но мы говорим о случае, когда

Gortaur писал(а):

$\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{\sqrt{h}} = g(x) \neq 0$ для любого $x\in [0,1]$

Ну и с очевидными обобщениями на комплексный случай.

[Gortaur]

Если теорема, на которую сослались в Саксе верна, то по крайней мере, на действительно оси верно следующее.

Преположим, что:
$\lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{\varphi(h)}}=g(x)\neq 0 \forall x\in [0;1]$.

Тогда:
1. если $x=o(\varphi(x)),x\rightarrow 0$, то $f'(x)=\infty$ - т.е. по указанной теореме такого не может быть.
2. если $\varphi(x) = o(x),x\rightarrow 0$, то $f'(x)=0$ - можно проитегрировать и получить, что $f\equiv Const$.

Таким образом, в знаменателе может быть только функция, отношение которой к $x$ конечно.

А вопрос возник не от нечего делать. Вопрос в дифференцировании броуновского движения.

[AD]

Gortaur в сообщении #179076 писал(а):

Если теорема, на которую сослались в Саксе верна

Ну почитайте Там разрабатывают

Gortaur в сообщении #179076 писал(а):

можно проитегрировать и получить, что $f\equiv Const$.

Ну как бы не настолько уж тривиально всё. Скажем, если бы $f'(x)=0$ только при почти всех $x$, то уже $f$ не обязана быть Const. Ну это, я думаю, Вы в курсе.

Gortaur в сообщении #179076 писал(а):

Таким образом, в знаменателе может быть только функция, отношение которой к $x$ конечно.

Ну а в этом случае, видимо, этот предел будет просто пропорционален производной, да? Или нет. То есть если взять $\phi(x)=x\sin\frac1x$, то получится ли что-нибудь интересное? Надо подумать.

upd: Ну да, тогда у нее всюду будут все производные числа ограничены, и, следовательно, она почти всюду дифференцируема в обычном смысле, а это невозможно. То есть снова соотношения Данжуа срабатывают.

Добавлено спустя 1 час 39 минут 45 секунд:

Gortaur в сообщении #179076 писал(а):

А вопрос возник не от нечего делать. Вопрос в дифференцировании броуновского движения.

А вот интересно, а всякие там просто обобщенные производные пробовали? Аппроксимативные, Чезаровские, Борелевские, ... Они существенно чаще существуют. Есть ли какие-нибудь исследования об обобщенных дифференцированиях броуновского движения? Любопытно просто.

А еще знаете что?.. Может, Вам просто ограничиться нахождением четырех производных чисел в Вашем супер-мега-смысле? Ну типа $\varlimsup\limits_{h\rightarrow +0}\frac{f(x+h)-f(x)}{\sqrt{h}}$ итп. То есть просто решить вопрос, какими кривыми можно ограничить броуновское движение в малой окрестности любой точки?

[Gortaur]

Вообще-то я пересмотрел свои посты и не заметил ни слова супер, ни мега... а то меня уже сомнения взяли.

А насчет броуновского движения - есть много вопросов. К примеру, какие данные есть по его динамике? и второе, есть ли реальные его траектории?

Я имею ввиду один из видов задания функции.