Пределы числовых последовательностей

[Brukvalub]

Nerazumovskiy в сообщении #178068 писал(а):

понимаете я могу доказать что они плотно заполяют отрезок $( - 1\;;\;1)$ но это же непозволяет сказать что этот отрезок и есть множество частных пределов.(пока писал запутался).

Как раз именно это и позволяет сказать, что этот отрезок и есть множество частных пределов.

[Nerazumovskiy]

вот ещо 3 задачки:
1) иследовать на сходимость $x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$ $y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$

2) иследовать на сходимость

$$x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}$$

при $x_1>0,a>0$

3)доказать что если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a$ то

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum \limits_{k=1}^nka_k = \frac{a}{2}$$

[Brukvalub]

Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):

1) иследовать на сходимость $x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$ $y_n=\frac{x_n+y_n}{2}$

Так ведь получается, что

\[ x_n = y_n \]

и последовательность - постоянная.

[Nerazumovskiy]

А как вы это получили? $x_n =y_n$
А, все понял.Извиняюсь опичатка(уже исправил).

[ИСН]

1 - это т.н. арифметико-геометрическое среднее, которое удивительным образом связано с эллиптическими интегралами. (Это, правда, к делу не относится.) А сходимость - ну, оцените разность через разность...

[Nerazumovskiy]

ИСН писал(а):

А сходимость - ну, оцените разность через разность...

как?

[ИСН]

Как? $y_{n+1}-x_{n+1}\over y_n-x_n$=... или ...$\le$...
а дальше, надеюсь, Вам самому хотя бы чуть-чуть интересно, что будет.
(Если нет - идите и читайте у Вольфрама. Английское название аналогично русскому.)

[Nerazumovskiy]

Хм, получается что $x_n-y_n$ убывает. Но всеравно не понимаю как ето поможет ели мы щитаем чуть другое.

[ИСН]

Ну, убывает не эта величина (очевидно же, что $y_n>x_n$), а противоположная. Или модуль пишите, чтобы не путать. Это во-первых.
Во-вторых, не просто убывает, а стремясь к...

[Nerazumovskiy]

хм, могу предположить что к $0$, но как оценитьее строго?
Чуствую что торможу, но ничего немогу с этим сделать.

[Brukvalub]

Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):

3)доказать что если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a$ то

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum \limits_{k=1}^nka_k = \frac{a}{2}$$

Здесь все прямо следует из т. Штольца.

Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):

2) иследовать на сходимость

$$x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}$$

при $x_1>0,a>0$

Рассмотрите поведение $\frac{{x_{n + 1} }}{{x_n }}$

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):

2) иследовать на сходимость

$$x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}$$

при $x_1>0,a>0$

Рассмотрите поведение $\frac{{x_{n + 1} }}{{x_n }}$

Там всё не так просто. Поначалу-то (для малого начального приближения) последовательность растёт в геометрической прогрессии.

Здесь существенно, что функция в правой части монотонно возрастает, и её график пересекает линию $y=x$ только один раз.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #178177 писал(а):

Там всё не так просто. Поначалу-то (для малого начального приближения) последовательность растёт в геометрической прогрессии.

А если начальное приближение велико?

[ewert]

Тогда убывает (если оно больше $\sqrt a$.)

На самом деле можно обойтись и без геометрии. Но и отношения тоже не при чём. Стандартный приём: доказать, что при $x_1<\sqrt a$ последовательность возрастает и остаётся в этих же пределах, а при $x_1>\sqrt a$ -- аналогично убывает.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #178184 писал(а):

На самом деле можно обойтись и без геометрии. Но и отношения тоже не при чём. Стандартный приём: доказать, что при $x_1<\sqrt a$ последовательность возрастает и остаётся в этих же пределах, а при $x_1>\sqrt a$ -- аналогично убывает.

И для этого удобно воспользоваться указанием:

Brukvalub в сообщении #178168 писал(а):

Рассмотрите поведение $\frac{{x_{n + 1} }}{{x_n }}$