Пределы числовых последовательностей

[Nerazumovskiy]

Вот в честь экзамена пролистываю учебник.
Пару задач неполучаються:
1) Доказать сходимость $ \prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{k^2+1})$

2)Найти предел последовательности $x_n = \frac{1}{\ln{n}}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-1}$

3)Найти множество всех частных пределов последовательности $x_n =$ суме делителей числа $n$

4)Найти множество всех частных пределов $x_n = \sin{n}$

P.S Я походу дела буду добавлять.

[ewert]

1). Исследуйте на сходимость логарифм (полученный ряд легко анализируется признаком сравнения).

2). Сумма в пределе превращается в интегральную и асимптотически равна $\frac14\,\ln n.$ Другой вопрос -- как проще аккуратно оформить доказательство...

[Nerazumovskiy]

А если учесть тот факт что интегралы мы не учили?
И что такое признак сравнения?
P.S Первый курс.

[GAA]

Из правил раздела: «... если вы просите помощи в решении учебной задачи, то обязательно должны продемонстрировать свои содержательные попытки решения.» Поэтому, пожалуйста, укажите:
1. Как сводится исследование сходимости бесконечных произведений к исследованию сходимости рядов; признаки сходимости рядов с положительными членами.
2. Напишите двустороннее неравенство для последовательности $\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-1}$ вида
$\int\limits_a^b \frac{1}{4x-1} dx \le \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-1} \le \int\limits_c^d \frac{1}{4x-1} dx$,
где $b$ и $d$ зависят от $n$.

Добавлено спустя 6 минут 25 секунд:

P.S. Для записи такого неравенства не нужно знать определение интегральной суммы, а достаточно знать геометрический смысл определенного интеграла (известный со школы).

[Nerazumovskiy]

1.Либо я чтото путаю либо незнаю,ведь ряды ето 2 курс)
2.Спс получилось,но без интегралов.

[Really]

Nerazumovskiy в сообщении #178041 писал(а):

И что такое признак сравнения?

Вы сначала покажите, какой ряд надо исследовать. А там признак легко подберется.

[Nerazumovskiy]

Really писал(а):

Nerazumovskiy в сообщении #178041 писал(а):

И что такое признак сравнения?

Вы сначала покажите, какой ряд надо исследовать. А там признак легко подберется.

Доказать сходимость $ \prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{k^2+1})$

[Really]

Nerazumovskiy в сообщении #178053 писал(а):

Доказать сходимость $ \prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{k^2+1})$

И к сходимости какого ряда вы свели вопрос о сходимости этого бесконечного произведения? Вам же уже про ряды говорят.

[bot]

А у него вообще-то нет бесконечного произведения - есть последовательность.

[GAA]

Nerazumovskiy, Вы изучали ряды и бесконечные произведения? Напишите, пожалуйста, в профиле Вашу будущую специальность.

[Nerazumovskiy]

Неизучали, учусь на кибернетике.
Ета задача из темы последовательности(1 симестр), а тема ряды идет уже в 4 симестре.

[Brukvalub]

Nerazumovskiy в сообщении #178035 писал(а):

1) Доказать сходимость $ \prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{k^2+1})$

$$\ln x_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(1+ \frac{1}{k^2+1} \right) \le \ln\left( \frac{3}{2}\right) + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2+1} \le \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} < 2$$

Значит, последовательность ограничена. Но она и монотонна. Значит.....
(исправил опечатку, на которую мне любезно укал GAA ).

[Nerazumovskiy]

спс, но ето не единственный вопрос...

[Brukvalub]

Nerazumovskiy в сообщении #178035 писал(а):

4)Найти множество всех частных пределов $x_n = \sin{n}$

Докажите, что эти пределы заполняют отрезок

\[ [ - 1\;;\;1] \]

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

Nerazumovskiy в сообщении #178035 писал(а):

3)Найти множество всех частных пределов последовательности $x_n =$ суме делителей числа $n$

Докажите, что эта последовательность не имеет конечных частичных пределов.

[Nerazumovskiy]

Brukvalub писал(а):

Nerazumovskiy в сообщении #178035 писал(а):

4)Найти множество всех частных пределов $x_n = \sin{n}$

Докажите, что эти пределы заполняют отрезок

\[ [ - 1\;;\;1] \]

понимаете я могу доказать что они плотно заполяют отрезок $( - 1\;;\;1)$ но это же непозволяет сказать что этот отрезок и есть множество частных пределов.(пока писал запутался).

Добавлено спустя 12 минут 4 секунды:

все, розпутался

Добавлено спустя 36 секунд:

Цитата:

Nerazumovskiy в сообщении #178035 писал(а):

3)Найти множество всех частных пределов последовательности $x_n =$ суме делителей числа $n$

Докажите, что эта последовательность не имеет конечных частичных пределов.

понял спс