2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение16.01.2009, 19:45 
Аватара пользователя
Nerazumovskiy в сообщении #178068 писал(а):
понимаете я могу доказать что они плотно заполяют отрезок $( - 1\;;\;1)$ но это же непозволяет сказать что этот отрезок и есть множество частных пределов.(пока писал запутался).
Как раз именно это и позволяет сказать, что этот отрезок и есть множество частных пределов.

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 20:33 
вот ещо 3 задачки:
1) иследовать на сходимость $x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$ $y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$

2) иследовать на сходимость $$x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}$$ при $x_1>0,a>0$

3)доказать что если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a$ то $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum \limits_{k=1}^nka_k = \frac{a}{2}$$

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 20:57 
Аватара пользователя
Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):
1) иследовать на сходимость $x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$ $y_n=\frac{x_n+y_n}{2}$
Так ведь получается, что \[
x_n  = y_n 
\] и последовательность - постоянная.

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 21:09 
А как вы это получили? $x_n =y_n$
А, все понял.Извиняюсь опичатка(уже исправил).

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 21:26 
Аватара пользователя
1 - это т.н. арифметико-геометрическое среднее, которое удивительным образом связано с эллиптическими интегралами. (Это, правда, к делу не относится.) А сходимость - ну, оцените разность через разность...

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 21:41 
ИСН писал(а):
А сходимость - ну, оцените разность через разность...

как?

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 21:45 
Аватара пользователя
Как? $y_{n+1}-x_{n+1}\over y_n-x_n$=... или ...$\le$...
а дальше, надеюсь, Вам самому хотя бы чуть-чуть интересно, что будет.
(Если нет - идите и читайте у Вольфрама. Английское название аналогично русскому.)

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 21:54 
Хм, получается что $x_n-y_n$ убывает. Но всеравно не понимаю как ето поможет ели мы щитаем чуть другое.

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 23:04 
Аватара пользователя
Ну, убывает не эта величина (очевидно же, что $y_n>x_n$), а противоположная. Или модуль пишите, чтобы не путать. Это во-первых.
Во-вторых, не просто убывает, а стремясь к...

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 23:11 
хм, могу предположить что к $0$, но как оценитьее строго?
Чуствую что торможу, но ничего немогу с этим сделать.

 
 
 
 
Сообщение16.01.2009, 23:41 
Аватара пользователя
Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):
3)доказать что если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a$ то $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum \limits_{k=1}^nka_k = \frac{a}{2}$$

Здесь все прямо следует из т. Штольца.
Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):
2) иследовать на сходимость $$x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}$$ при $x_1>0,a>0$
Рассмотрите поведение $\frac{{x_{n + 1} }}{{x_n }}$

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 00:00 
Brukvalub писал(а):
Nerazumovskiy в сообщении #178096 писал(а):
2) иследовать на сходимость $$x_{n+1}=\frac{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}$$ при $x_1>0,a>0$
Рассмотрите поведение $\frac{{x_{n + 1} }}{{x_n }}$

Там всё не так просто. Поначалу-то (для малого начального приближения) последовательность растёт в геометрической прогрессии.

Здесь существенно, что функция в правой части монотонно возрастает, и её график пересекает линию $y=x$ только один раз.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 00:02 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #178177 писал(а):
Там всё не так просто. Поначалу-то (для малого начального приближения) последовательность растёт в геометрической прогрессии.
А если начальное приближение велико? :wink:

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 00:20 
Тогда убывает (если оно больше $\sqrt a$.)

На самом деле можно обойтись и без геометрии. Но и отношения тоже не при чём. Стандартный приём: доказать, что при $x_1<\sqrt a$ последовательность возрастает и остаётся в этих же пределах, а при $x_1>\sqrt a$ -- аналогично убывает.

 
 
 
 
Сообщение17.01.2009, 00:36 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #178184 писал(а):
На самом деле можно обойтись и без геометрии. Но и отношения тоже не при чём. Стандартный приём: доказать, что при $x_1<\sqrt a$ последовательность возрастает и остаётся в этих же пределах, а при $x_1>\sqrt a$ -- аналогично убывает.
И для этого удобно воспользоваться указанием:
Brukvalub в сообщении #178168 писал(а):
Рассмотрите поведение $\frac{{x_{n + 1} }}{{x_n }}$

:D

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group