Производная

[Someone]

А где в Вашей функции $\sin x$? Там что-то другое.
И скобок не хватает.

Кстати, "большие" скобки можно набрать как \left( и \right).

[ewert]

M1xer писал(а):

\[({(\ln (2x + 3))^{sin\sqrt x }})*(\cos x*\frac{{\ln (\ln (2x + 3)}} {{2\sqrt x }}) + (\frac{{2\sin \sqrt x }} {{\ln (2x + 3)}})*(2x + 3)\]

Идея правильная, а вот терпения не хватило. По поводу скобок и путаницы с синусом/косинусом уже написано. Кроме того, не так вставлен самый последний сомножитель $(2x+3).$

[Алексей К.]

Пусть $f(x)=(\ln (2x + 3))^{\sin \sqrt x }$
Тогда $\ln f(x)={\sin \sqrt x }\cdot \ln (2x + 3)$.
Тогда $[\ln f(x)]'=[{\sin \sqrt x }\cdot \ln (2x + 3)]'$.
То есть

$$\frac{f'(x)}{f(x)}=(\sin \sqrt x )' \cdot \ln (2x + 3) + {\sin \sqrt x }\cdot [\ln (2x + 3)]'=\frac{\cos \sqrt x}{2\sqrt x} \cdot \ln (2x + 3)+\sin \sqrt{ x }\frac{2}{2x + 3}$$

Тогда $f'(x)=f(x)\cdot\left[\ldots\right]=$

[Профессор Снэйп]

$$ \left(f(x)^{g(x)}\right)' = \left( e^{g(x) \cdot \ln f(x)} \right)' = e^{g(x) \cdot \ln f(x)} \cdot (g(x) \cdot \ln f(x))' = $$

$$ = f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x) \cdot \ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right) $$

И всё! Пользуйтесь этой формулой!!!

[bot]

Чему учите, профессор?
Способ, которым получена формула, запомнить гораздо проще, чем эту формулу. У этого способа даже название имеется - логарифмическое дифференцирование и применить его бывает удобно не только для функций указанного вида.
Вот им, а не готовой формулой и надо пользоваться.

[ewert]

На самом деле это один и тот же способ, только немного по-разному записанный. И какой методически проще -- это ещё вопрос.

А вот что заучивать лишние формулы грешно -- это факт.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Чему учите, профессор?
Способ, которым получена формула, запомнить гораздо проще, чем эту формулу. У этого способа даже название имеется - логарифмическое дифференцирование и применить его бывает удобно не только для функций указанного вида.
Вот им, а не готовой формулой и надо пользоваться.

Ну... Если бы я записал только первую и последнюю часть формулы, Ваша критика была бы обоснованной. А так... я ведь всё подробно расписал; не только формулу, но и способ её получения. Желающий прочтёт всё! А заучивать формулу я никого не призывал.

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #177262 писал(а):

А заучивать формулу я никого не призывал.

А прозвучало как раз наоборот: вот формула - пользуйтесь.

Добавлено спустя 10 минут 58 секунд:

Вызвал студента к доске и попросил посчитать $\frac{1+2i}{3-i}$.

Он пишет $a=1, b=2, c=3, d=-1$.

Спрашиваю: - что ты пишешь?

Отвечает: по формуле и тычет пальцем в учебник. Там написано:

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}i, \, c^2+d^2\ne 0$

Кстати, наиболее частый вопрос в этом разделе: по какой формуле решать?

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

Вспомнилось из школы. На уроке физики была задача с какой-то платформой. Вот соседка спереди у меня и спрашивает - по какой формуле решать надо?
Мой ответ мне и сейчас нравится:
Да не по формуле решать надо - садись на платформу и думай!

[ewert]

bot писал(а):

тычет пальцем в учебник. Там написано:

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}i, \, c^2+d^2\ne 0$

Да! есть такие учебники. К сожалению.

[kamnev111]

1) ((ln(2*x+3))^sin(x^(1/2)))'=(e^((sin(x^(1/2)))*ln(ln(2*x+3))))'=
=(e^((sin(x^(1/2)))*ln(ln(2*x+3))))*(cos(x^(1/2))*(1/2)*x^(-1/2)*ln(ln(2*x+3))+
+2/((2*x+3)*ln(2*x+3)))

[ewert]

О хоссподи, лучше б Вы это не писали...

Да, кстати, автору-то темы это уже и не нужно. Он свою контрольную уже или сдал -- или завалил.

[kamnev111]

2) ln(x-2*y)+x/y^2=y
(1-2*y')/(x-2*y)+(y^2-x*2*y'*y)/y^4=
y*y'+2*y'/(x-2*y)+x*2*y'/y^3=1/(x-2*y)+1/y^2
ну дальше понятно, выражаем y'....

[PAV]

PAV:

kamnev111, замечание за неиспользование требуемых на форуме средств оформления формул

[kamnev111]

3) x' по t =2*t/(t^2-1)^(1/2)
y' по t=((t^2-1)^(1/2)-(t+1)*2*t/(t^2-1)^(1/2))/(t^2-1)
y'по x=(((t^2-1)^(1/2)-(t+1)*2*t/(t^2-1)^(1/2))/(t^2-1))/2*t/(t^2-1)^(1/2)

[--mS--]

Да он рецидивист!