Интеграл от осциллирующей функции.

[ewert]

Биективность (точнее, инъективность) равносильна обратимости. И никакая это не теорема, а просто по определению.

Вам, наверное, припомнилось другое утверждение: что в линейном случае обратимость равносильна невырожденности. Это -- действительно, "теорема", хотя и тривиальная.

[Draeden]

Цитата:

Биективность (точнее, инъективность) равносильна обратимости. И никакая это не теорема, а просто по определению.

А мы это доказывали Определения наверно другие.

Хотя если есть прямое и обратное преобразование, то очевидно есть биективность.[/quote]

[Draeden]

Я попробую доказать лемму Римана Лебега, а вы попробуйте найти ошибки

Лемма об интеграле экспоненты на измеримом множестве.

Если $A\in M_F$ то $\exists c \left|\int _Ae^{-i \omega t}dt\right|<\frac{c}{|\omega |}$

Док-во.

Конечно измеримое множество можно приблизить объединением параллелепипедов:

$\forall \epsilon \text{ }\exists X\in \mathcal{E} X=\underset{n \leq N}{\cup }X_n,n\neq m\Rightarrow \mu \left(X_n\cap X_m\right)=0,\mu (X \triangle A)<\epsilon $

$X_n=\left[a_n,b_n\right]$

$\left|\int _Ae^{-i \omega t}dt\right|=\left|\int _Xe^{-i \omega t}dt-\int _Xe^{-i \omega t}dt+\int _Ae^{-i \omega t}dt\right|\leq \left|\int _Xe^{-i \omega t}dt\right|+\mu (X \triangle A)<|\int _Xe^{-i \omega t}dt|+\epsilon =\left| \underset{n \leq N}{\sum }\int _{X_n}e^{-i \omega t}dt\right|+\epsilon =\left|\underset{n \leq N}{\sum }\frac{e^{-i b_n \omega }-e^{-i a_n \omega }}{-i \omega }\right|+\epsilon \leq \frac{2N}{\omega }+\epsilon$

Доказано.

Лемма для ступенчатых функций.

Если $\mathbb{R}=\underset{n \in N}{\cup }X_n,X_n\in M_F,n\neq m\Rightarrow \mu \left(X_n\cap X_m\right)=0,f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+,f(X_n)=\{y_n\},f \in L(\mathbb{R})$ тогда $\hat{f}(\omega )\underset{\omega \to \infty }{\longrightarrow }0$

Док-во.

$\hat{f}(\omega )=\int _{\mathbb{R}}f(t)e^{-i \omega t}dt=\underset{n \in N}{\sum }\underset{X_n}{\int }y_ne^{-i \omega t}dt$

В силу интегрируемости ступенчатой функции:

$\forall \epsilon \text{ }\exists N \underset{n > N}{\sum }\underset{X_n}{\int }y_n\mu \left(X_n\right)<\epsilon $

$\left|\hat{f}(\omega )\right|=\left|\underset{n \leq N}{\sum }\underset{X_n}{\int }y_ne^{-i \omega t}dt+\underset{n > N}{\sum }\underset{X_n}{\int }y_ne^{-i \omega t}dt\right|\leq \left|\underset{n \leq N}{\sum }\underset{X_n}{\int }y_ne^{-i \omega t}dt\right|+\epsilon $

$\forall n \leq N \exists c_{n } \exists \bar{\omega }_n\text{ }\forall \omega \text{ }|\omega |>\bar{\omega }_n\text{ }|\underset{X_n}{\int }e^{-i \omega t}dt|<\frac{c}{|\omega |}$

$\forall \epsilon \exists \bar{\omega }\text{ }\forall \omega \text{ }|\omega |>\bar{\omega }| \underset{n \leq N}{\sum }\underset{X_n}{\int }y_ne^{-i \omega t}dt|\leq \frac{1}{|\omega |}|\underset{n \leq N}{\sum }y_nc_n|<\epsilon $

$\left|\hat{f}(\omega )\right| < 2\epsilon$
$\hat{f}(\omega )\underset{\omega \to \infty }{\longrightarrow }0$

Доказано.

Лемма для положительных функций.

Если $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+,f \in L(\mathbb{R}),\hat f(\omega )=\int _{\mathbb{R}}f(t)e^{-i \omega t}dt$ то $\hat f(\omega )\underset{\omega \to \infty }{\longrightarrow }0$.

Док-во.

Положительную измеримую функцию $f$ можно равномерно приблизить простыми (ступенчатыми) функциями:

$f_n\underset{n \to \infty }{\overset{\mathbb{R}}{\to }}f$ причём $\int _{\mathbb{R}}f_n\overset{n \to \infty }{\longrightarrow }\int _{\mathbb{R}}f$

Оценим значение функции:

$\left|\hat{f}(\omega )\right|\leq \left|\hat{f}_n(\omega )-\hat{f}_n(\omega )+\hat{f}(\omega )\right|\leq \\ \left|\hat{f}_n(\omega )-\hat{f}(\omega )\right|+\left|\hat{f}_n(\omega )\right|\leq \int _{\mathbb{R}}|f-f_n|+\left|\hat{f}_n(\omega )\right|$

$\forall \epsilon \text{ }\exists N\text{ }\forall n>N\text{ }\int _{\mathbb{R}}|f-f_n|<\epsilon $
$\exists \bar{\omega }\text{ }\forall \omega \text{ }|\omega |>\bar{\omega }\text{ }|\hat{f}_n(\omega )|<\epsilon $
$\left|\hat{f}(\omega )\right| < 2 \epsilon$
$\hat{f}(\omega )\underset{\omega \to \infty }{\longrightarrow }0$

Доказано.

Лемма Римана Лебега.

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},f\in L(\mathbb{R}),\hat f(\omega)=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-i \omega t}dt$ тогда $\lim_{\omega \to \infty}\hat f(\omega)=0$.

Док-во.

Разделим функцию на положительную и отрицательную часть $f=f_++f_-$ тогда $\hat f (\omega) = \hat f_+(\omega) + \hat f_(\omega)- \to_{\omega \to \infty} 0$

Доказано.