Я попробую доказать лемму Римана Лебега, а вы попробуйте найти ошибки
Лемма об интеграле экспоненты на измеримом множестве.
Если

то
Док-во.
Конечно измеримое множество можно приблизить объединением параллелепипедов:
Доказано.
Лемма для ступенчатых функций.
Если

тогда
Док-во.
В силу интегрируемости ступенчатой функции:
Доказано.
Лемма для положительных функций.
Если

то

.
Док-во.
Положительную измеримую функцию

можно равномерно приблизить простыми (ступенчатыми) функциями:

причём
Оценим значение функции:
Доказано.
Лемма Римана Лебега.

тогда

.
Док-во.
Разделим функцию на положительную и отрицательную часть

тогда
Доказано.