Интеграл от осциллирующей функции.

[Draeden]

Верно ли, что $\forall \omega \in \mathbb{R} \quad (L)\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{i \omega x}dx=0 \Rightarrow f=0$ ? Здесь используется интеграл Лебега.

[ИСН]

Long story short, если преобразование Фурье от функции равно нулю, то кто она, как не нуль?

[Brukvalub]

Это преобразование Фурье функции. Попробуйте восстановить функцию по ее преобразованию Фурье.

[Draeden]

Да, это как раз в эти связано. Я пытаюсь доказать, что преобразование фурье биективно отображает класс Шварца сам в себя. Сюрьективность очевидна. Инъективность сводится к этому. Непонятно, почему если преобразование фурье равно нулю, то сама функция равна нулю. Может составит какой нибудь диффур и из него по т. Коши вытащить, что функция равна нулю ?..

[ewert]

Draeden в сообщении #176863 писал(а):

Непонятно, почему если преобразование фурье равно нулю, то сама функция равна нулю.

Хотя бы потому, что преобразование Фурье изометрично (сохраняет $L_2$-норму). Если, конечно, поделить интеграл на $\sqrt{2\pi}.$

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #176863 писал(а):

Может составит какой нибудь диффур и из него по т. Коши вытащить, что функция равна нулю ?..

Brukvalub в сообщении #176826 писал(а):

Попробуйте восстановить функцию по ее преобразованию Фурье.

[Draeden]

ewert,
Ответ лаконичный, но непонятный

Brukvalub,
С помощью обратного преобразования Фурье ? Это не объясняет почему только ноль может быть оригиналом для нуля. Вдруг ещё какая то функция переходит в ноль ?

[ewert]

Draeden в сообщении #176924 писал(а):

ewert,
Ответ лаконичный, но непонятный

Если $\widetilde f(\omega)={1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i\omega x}dx,$ то $\int_{-\infty}^{\infty}|\widetilde f(\omega)|^2d\omega=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx.$

Вообще, Вы в каком месте доказательства находитесь?

Стандартно обратное преобразование Фурье (для финитных функций) получается предельным переходом из ряда Фурье. Ну так это тождество получается параллельно аналогичным предельным переходом из равенства Парсеваля.

[Draeden]

Я не знаю, что такое равенство Парсеваля.
Да, такое сохранение нормы всё объясняет. Буду его доказывать.

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #176924 писал(а):

Brukvalub,
С помощью обратного преобразования Фурье ? Это не объясняет почему только ноль может быть оригиналом для нуля. Вдруг ещё какая то функция переходит в ноль ?

Brukvalub в сообщении #176826 писал(а):

Попробуйте ВОССТАНОВИТЬ функцию по ее преобразованию Фурье.

[ewert]

Draeden в сообщении #176933 писал(а):

Я не знаю, что такое равенство Парсеваля.

Если $f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{i{2\pi\over2L}kx},$ то $\int_{-L}^{L}|f(x)|^2dx=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2\cdot2L.$

Да, и, кстати, Brukvalub тоже прав. Если у Вас уже есть обратное преобразование Фурье (в том смысле, что если уже доказано: после применения обратного преобразования получается именно исходная функция), то это автоматически означает невырожденность прямого преобразования.

[Draeden]

ewert,
Достаточно даже самого слабого частного случая: если норма одной функции ноль, то норма другой - тоже ноль, это элементарно доказывается. Спасибо за идею.

Brukvalub,
Как я её восстановлю ? Вдруг их много ? Есть теорема (по крайне мере мне известна только такая), что если функция непрерывна в точке и в этой точке выполнено условие Дини, то можно показать, что верна формула обратного преобразования. Если функция гладкая то можно восстановить всю функцию, но это не объясняет, что такой оригинал всего один.

Вот моя функция:

$F(\omega)= \int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-i \omega x}dx=0$

Обычно пишут, что

$f(x)=\frac {1} {2 \pi} \int_{\mathbb{R}}F(\omega)e^{i \omega x}d \omega=0$

Но я не согласен. Эта форумла верна в том смысле, что если подставить её на соотвествующее место в первой формуле, то получится равенство.

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

ewert,
Логичное равенство

[ewert]

А вполне достаточно, что работает подстановка хотя бы в одну сторону. Ведь обратное преобразование выглядит точно так же, как и прямое. Тем более, что у Вас что на входе, что на выходе -- класс Шварца.

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #176938 писал(а):

Но я не согласен.

Ну и ладно. Я не бычок, чтобы бодаться с Вами. Я не научил, так жисть научит.

[Draeden]

Биективность преобразования следует из его обратимости ? Какая то такая теорема была для произвольных отображений, надо вспомнить...