Сингулярное уравнение не нормального типа

[Руст]

Кролик писал(а):

Из этого утверждения следует, что классический оператор Гильберта $\wp\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)dx}{\pi i (x-w)}$ ограничен в пространстве непрерывных функций {\cal C}(-\infty,\,+\infty). Верна ли данная импликация в действительности, и если нет, то почему?

Это не так. Для ограниченности в норме непрерывных функций для образа необходимо, чтобы функция при стремлении к бесконечности стремилось как линейная функция ax+b(вообще говоря с разными постоянными b но с одинаковым множителем a с раных сторон бесконечности) и подъинтегальная функция должна обладать конечной константой Липшица.

[shwedka]

Руст писал(а):

Для ограниченности в норме непрерывных функций для образа необходимо, чтобы функция при стремлении к бесконечности стремилось как линейная функция ax+b(вообще говоря с разными постоянными b но с одинаковым множителем a с раных сторон бесконечности) и подъинтегальная функция должна обладать конечной константой Липшица.

Ай!!! а какую норму Вы берете в пространстве непрерывных функций на оси, чтобы такие линейные функции туда попадали??

Про уравнение. Называется уравнением Винера-Хопфа на конечном интервале, в отличие от классического уравнения ВХ, которое действует на полуоси.
Рекомендую посмотреть
http://www.springerlink.com/content/n48773268v905g04/

A. B. Kuijper
A note on first kind convolution equations on a finite interval
Journal Integral Equations and Operator Theory
Volume 14, Number 1 / January, 1991
Abstract This note deals with a class of convolution operators of the first kind on a finite interval. Necessary and sufficient conditions for such an operator to be Fredholm are given. The argument is based on a process of reduction of convolution-type operators on a finite interval to operators of the same type on the half line.
Там же есть литература по основам.

[Кролик]

shwedka писал(а):

Руст писал(а):

Для ограниченности в норме непрерывных функций для образа необходимо, чтобы функция при стремлении к бесконечности стремилось как линейная функция ax+b(вообще говоря с разными постоянными b но с одинаковым множителем a с раных сторон бесконечности) и подъинтегальная функция должна обладать конечной константой Липшица.

Ай!!! а какую норму Вы берете в пространстве непрерывных функций на оси, чтобы такие линейные функции туда попадали??

-- Да по-моему Руст нас тут давно разыгрывает!
То у него точка остаточного спектра конечного оператора Гильберта чудесным образом оснастилась собственными функциями, то классический (бесконечный) оператор Гильберта начал переводить непрерывную функцию снова в непрерывную... (хотя известно, что данный оператор становится неограниченным уже в $L_{\infty}$.) Причём ещё какие-то наукообразные критерии указываются!
Оригинальное чувство юмора тут на Мехмате...

shwedka писал(а):

Про уравнение. Называется уравнением Винера-Хопфа на конечном интервале, в отличие от классического уравнения ВХ, которое действует на полуоси.
Рекомендую посмотреть http://www.springerlink.com/content/n48773268v905g04/

A. B. Kuijper. A note on first kind convolution equations on a finite interval. Journal Integral Equations and Operator Theory, Volume 14, Number 1 / January, 1991

-- Спасибо за ссылку, но я почти уверен, что свойство резольвенты конечного оператора Гильберта в точках остаточного спектра было изучено гораздо раньше, чем в 1991-ом году.

[Полосин]

Готов предоставить полное решение задачи, если интерес еще не угас.

[V.V.]

Полосин писал(а):

Готов предоставить полное решение задачи, если интерес еще не угас.

Предоставьте!

[Полосин]

Рассмотрим сначала однородную задачу ($f\equiv0$). Пусть

$$F(z)=\frac1{\pi i}\int_{-1}^1\frac{u(t)dt}{t-z}$$

, тогда $F(z)$ - аналитическая на всей комплексной плоскости с разрезом $(-1,1)$, исчезает на бесконечности и на разрезе удовлетворяет условию $F^-\equiv0$ (формула Сохоцкого-Племеля). Отсюда следует, что $F\equiv0$ (в отличие от случая разреза вдоль всей прямой, когда $F^+$ может быть, в известном смысле, произвольной), стало быть, опять-таки по формуле С.-П. $u\equiv0$.
Вернемся к неоднородной задаче. Представим правую часть в виде $f=f^+-f^-$ (решение задачи о скачке), где

$$f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{-1}^1\frac{f(t)dt}{t-z}$$

, тогда исходное уравнение перепишется в виде $H^-=f^+$, где

$$H(z)=\frac1{\pi i}\int_{-1}^1\frac{(f(t)/2-u(t))dt}{t-z}$$

. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы аналитически продолжить функцию $f^+(z)$, принадлежащую введенному выше классу функций, через разрез.
Функций, допускающих такое продолжение, бесконечно много, например, $f^+_\alpha(z)=(z-1)^{-\alpha}(z+1)^{\alpha-1}$, $0<Re\alpha<1$; искомое продолжение функции задается умножением на $e^{-2\pi i\alpha}$ на разрезе. Заметим, что при действительных $\alpha$ оператор умножения будет унитарным. Таким образом, мы определили линейный функционал на подмножестве функций (ограниченный при действительных $\alpha$). Осталось выбрать всюду плотное подмножество (например, указанные функции при действительных $\alpha$) и продолжить функционал на все пространство.