Сингулярное уравнение не нормального типа

[Кролик]

Дорогие математики!

Физические задачи из области спектроскопии твёрдого тела привели нас к следующему интегральному уравнению с сингулярным ядром:
\begin{eqnarray} u (\omega) - \frac{1}{\pi i}\;\wp\!\int_{-1}^1 \frac{u(x)\, dx}{x - \omega}& = & f(\omega)\:,\qquad \omega\in (-1;\: 1) \label{int_eq} \end{eqnarray}
Изучив результаты работ [1-2], я установил, что (1) не является интегральным уравнением нормального типа, то есть для его аналитического решения стандартные методы анализа полного сингулярного уравнения непреминимы.

Что вам известно о существовании решения, то есть об условии разрешимости (1) по правой части? Существует ли сведение уравнения (1) к интегральному уравнению некого другого вида? Известна ли аналитическая форма решения хоть для каких-то специальных случаев?

Заранее спасибо.
Кролик

[1] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, граничные задачи теории функций и некоторые приложения к математической физике. М.: Наука, 1968.
[2] A.D. Polyanin and A.V. Manzhurov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, BocaRaton,1998.

[Руст]

Обозначим линейный оператор:

$$A(u)=u(x)-\frac{1}{\pi i}\int_{-1}^1\frac{u(x)dx}{x-w}$$

,
отображающей пространсво функций на интервале (-1,1) в себя.
Такие уравнения (F(u)=f) имеют нетривиальное ядро и коядро и обычно сводятся к уравнениям Фредгольмового типа применением сопряжённого оператора (BA)u=Bf (B сопряжённый оператор, полученный изменением знака от А перед вторым членом).

[PAV]

PAV:

Замечание за неинформативные символы в заголовке. Исправлено.

Добавлено спустя 52 секунды:

Тему переношу в корневой раздел.

[Кролик]

Руст писал(а):

Обозначим линейный оператор:

$$A(u)=u(\omega)-\frac{1}{\pi i}\int_{-1}^1\frac{u(x)dx}{x-w}$$

,
отображающей пространсво функций на интервале (-1,1) в себя.
Такие уравнения (F(u)=f) имеют нетривиальное ядро и коядро и обычно сводятся к уравнениям Фредгольмового типа применением сопряжённого оператора (BA)u=Bf (B сопряжённый оператор, полученный изменением знака от А перед вторым членом).

-- Спасибо за замечание и за внимание к предложенной теме.

Существует опасение, что стандартные пути решения уравнения (1) не приводят к результату. В частности, попытка подействовать на исходное уравнение сопряжённыым оператором B приводит к аналогичному интегральному уравнению с сингулярным ядром, решение которого по-прежнему остаётся за семью печатями. Точнее, если обозначить $A=I-\frac{1}{i} H$, а $B=A^*$, то новое уравнение "Фредгольмогово типа" окажется с оператором $\hat A=I-\frac{1}{i} H^{-1}$, что равносильно исходному уравнению, но не позволяет получить принципиально ничего нового.

Мне кажется, тут нужен узкий специалист по сингулярным уравнениям (типа polyanin) который смог бы сразу опознать это наверное очень известное (но почему-то не прописанное ни в одном справочнике) уравнение.

[Егор]

Можно полистать книгу:
Зигфрид Прёсдорф "Некоторые классы сингулярных уравнений". М.: Мир, 1979.

Оригинал:
S. Proessdorf, Einige Klassen singulaerer Gleichungen. Akademie-Verlag-Berlin, 1974.

[Руст]

Кролик писал(а):

Существует опасение, что стандартные пути решения уравнения (1) не приводят к результату. В частности, попытка подействовать на исходное уравнение сопряжённыым оператором B приводит к аналогичному интегральному уравнению с сингулярным ядром, решение которого по-прежнему остаётся за семью печатями. Точнее, если обозначить $A=I-\frac{1}{i} H$, а $B=A^*$, то новое уравнение "Фредгольмогово типа" окажется с оператором $\hat A=I-\frac{1}{i} H^{-1}$, что равносильно исходному уравнению, но не позволяет получить принципиально ничего нового.

Мне кажется, тут нужен узкий специалист по сингулярным уравнениям (типа polyanin) который смог бы сразу опознать это наверное очень известное (но почему-то не прописанное ни в одном справочнике) уравнение.

Оператор или преобразование: $\int \frac{f(x)dx}{\pi i (x-w)}$ называется оператором или преобразованием Гильберта. Квадрат этого оператора тождественный, когда интегралы берутся от -00 до +00. При вашем определении (интеграл от -1 до 1) оно отличается от тождественного на компактный оператор, т.е задача после применения сопряжённым оператором сводится к Фредгольмовому уравнению. Я решал такие задачи в ситуации, когда вместо свёртки с (1/x) была более общая ситуация свёртки, сингулярная часть которой совпадало с этим.

[Кролик]

Руст писал(а):

Оператор или преобразование: $\int \frac{f(x)dx}{\pi i (x-w)}$ называется оператором или преобразованием Гильберта. Квадрат этого оператора тождественный, когда интегралы берутся от -00 до +00. При вашем определении (интеграл от -1 до 1) оно отличается от тождественного на компактный оператор, т.е задача после применения сопряжённым оператором сводится к Фредгольмовому уравнению. Я решал такие задачи в ситуации, когда вместо свёртки с (1/x) была более общая ситуация свёртки, сингулярная часть которой совпадало с этим.

-- Мы действительно решаем уравнение с конечным оператором Гильберта. Поскольку исходная задача является некорректной (в смысле Адамара), то для нас является вполне понятным тот факт, что исходное уравнение (1), вероятно, может быть сведено к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Однако мы не знаем ни точного пути сведения, ни тем более медотов аналитического решения последующего уравнения Фредгольма.

Уважаемый Руст, если Вы действительно знаете готовый ответ, то есть явную аналитическую форму обратного оператора (для уничтожения ядер и коядер примем, что наш системный оператор действует в Гильбертовом пространстве $L_2(-1,\, 1)$), то Вы съэкономили бы нам массу времени, выписав его прямо в форуме.

Заранее большое спасибо.

[Руст]

К сожалению, для вашего случая, из-за нетривиальности добавки, не существует аналитического решения. Мало того, появляется нетривиальный спектр значений для коэффициента перед оператором Гильберта, когда появлются допольнительные решения (размерность ядра вашего оператора увеличивается). Я решал численно, аппроксимируя гладкими сплайнами и сводя к линейным уравнениям..

[Кролик]

Руст писал(а):

К сожалению, для вашего случая, из-за нетривиальности добавки, не существует аналитического решения. Мало того, появляется нетривиальный спектр значений для коэффициента перед оператором Гильберта, когда появлются допольнительные решения (размерность ядра вашего оператора увеличивается). Я решал численно, аппроксимируя гладкими сплайнами и сводя к линейным уравнениям..

-- Жалко... Но тем не менее огромное спасибо за подстраховку!

На самом деле, из всего произошедшего возникает ещё ряд интересных вопросов. Особенно про регулярные (в смысле L_2) элементы ядра. Не могли бы Вы указать конкретные (комплекснозначные?) функции, переводимые нашим системным оператором в ноль-функцию? Например ядро транкированного (конечного) оператора Гильберта состоит из единственного элемента: $\textstyle u_0(\omega)=\left(1-\omega^2\right)^{-1/2}\notin L_2(-1,\, 1)$. А что происходит в нашем случае?

Сразу приведу и второй вопрос, который нас очень интересует в смысле приложения. Насколько возможно аналитическое вычисление не всего решения уравнения (1), а лишь только некоторой свёртки от него, например функционала спектрального веса ?
\setcounter{equation}{1} \begin{eqnarray} W(u)& = &\int_{-1}^1 u(x)\, dx \label{sp_w} \addtocounter{\theequation}{1} \end{eqnarray}

[Руст]

Некоторые из этих вопросов (иногда и аналитическое решение при некотором условии на функцию из правой части) решаются, когда воспринимаем это уравнение так, как будь то, интегрирование от -00 до +00, только функция и(х) за пределами (-1,1) равна нулю).

[Кролик]

-- Но если голоморфная функция u(х) за пределами (-1,1) равна нулю, то её аналитическое продолжение на всю верхнюю полуплоскость будет также тождественным нулём. Следует ли из этого, что ядро линейного оператора в нашем интегральном уравнении (1) тривиально? Но в каком смысле надо тогда понимать утвержнение, что "размерность ядра нашего оператора увеличивается"?

[Руст]

А с чего вы взяли, что решение должно быть всюду аналитической функцией, тем более за пределами области, которой интересуетесь.

[Кролик]

Руст писал(а):

А с чего вы взяли, что решение должно быть всюду аналитической функцией, тем более за пределами области, которой интересуетесь.

-- Я апеллирую к теореме об единственности аналитического продолжения.

В самом деле, составим функцию правой части в уравнении (1) специальным образом:
\setcounter{equation}{2} \begin{eqnarray} f(\omega) & = & \frac{1}{\pi i}\;\wp\!\int_{-\infty}^{-1} \frac{\sigma(x)\, dx}{x - \omega} + \frac{1}{\pi i}\;\wp\!\int_1^{+\infty} \frac{\sigma(x)\, dx}{x - \omega} \:,\qquad \omega\in (-1,\: 1) \label{int_eq} \end{eqnarray}
где $\sigma(\omega)$ некоторая голоморфная функция, не имеющая в верхней полуплоскости особых точек и убывающая по модулю на вещественной оси достаточно быстро. Но тогда такая функция будет удовлетворять соотношению Крамерса-Кронига:
\setcounter{equation}{3} \begin{eqnarray} \sigma(\omega) & = & \frac{1}{\pi i}\;\wp\!\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sigma(x)\, dx}{x - \omega} \:,\qquad \omega\in (-\infty,\,+\infty) \label{int_eq} \end{eqnarray}
из которого мгновенно получается (единственное!) решение нашего интегрального уравнения: $u(\omega)=\sigma(\omega)\, ,\;\;\omega\in (-1,\: 1)$. Наличие нетривиального ядра означало бы нарушение единственности аналитического продолжения значений голоморфной функции с одной части границы области регулярности на другую.

Так всё-таки, тривиально или нетривиально множество нулей (ядро) нашего системного оператора?

[Руст]

Дело в том, что действительная ось, по которой идёт интегрирование, представляет как бы границу голоморфности функции. И для любой непрерывной функции заданной на границе некоторой области в комплексной плоскости можно определить с помощью интеграла (типа вашего) можно определить голоморфную внутри области и непрерывную на границе голоморфную функцию. Соответственно, любое непрерывное продолжение по границе определяет новую функцию. Дополнительные решения появляются из-за выполнения некоторых соотношений на функцию в правой части, которые не противоречат особенностям функции на концах.

[Кролик]

Руст писал(а):

Дело в том, что действительная ось, по которой идёт интегрирование, представляет как бы границу голоморфности функции. И для любой непрерывной функции заданной на границе некоторой области в комплексной плоскости с помощью интеграла (типа вашего) можно определить голоморфную внутри области и непрерывную на границе функцию.

-- Из этого утверждения следует, что классический оператор Гильберта $\wp\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)dx}{\pi i (x-w)}$ ограничен в пространстве непрерывных функций {\cal C}(-\infty,\,+\infty). Верна ли данная импликация в действительности, и если нет, то почему?