Положительная определенность

[Юстас]

Пусть $(a_1,..,a_n)$-последовательность ненулевых действительных чисел. Верно ли, что матрица [A_{ij}], A_{ij}=\frac{1}{a_i^2+a_j^2} неотрицательно определена?

[citadeldimon]

Используй критерий Сильвестра и метод иат индукции: для n=2 - справедливо, и т. д. должно несложно получится.

[Юстас]

Если бы так просто было, я б не спрашивал. Действительно, для размерности 2 очевидно, а для 3 - уже нет.

[citadeldimon]

я же написал, что доказивать надо методом мат индукции:

припускаем что при $n=k$, тобто при $a_1,...,a_k$ утверждение справедливо, потом расматриваем случай $n=k+1$, и расклаиваем опредилитель по первой строчке, получаем сумму где фигурируют опредилители порякком меньше, которие >0 - ми припускакали, дальше сам

[rashid]

Полоожительно определенная матрица это та матрица для которого собственные числа положителные вещественные числа. А отрицательно определенная матрица это матрица для которой среди собственных чисел имеется хотя бы одна отрицателная или комплексное число
можно исходит от этих фактов...

[Юстас]

Миноры, фигурирующие в разложении по строке, не подходят под индуктивное предположение в силу несимметричности, да и сумма знакопеременная.

[Юстас]

rashid писал(а):

Полоожительно определенная матрица это та матрица для которого собственные числа положителные вещественные числа. А отрицательно определенная матрица это матрица для которой среди собственных чисел имеется хотя бы одна отрицателная или комплексное число
можно исходит от этих фактов...

Спасибо, мне не нужно разжевывать мой же вопрос.

Citadeldimon, можете доказать хотя бы для размерности 3?
И заметьте, вопрос стоит "верно ли", то есть возможно существует контрпример.

[rashid]

Юстас
не переходите на личности и можите обидит других

[Юстас]

Rashid, не хотел никого обидеть, просто считаю, что писать нужно по делу, то есть по тому вопросу, который поставлен в начале.

[Руст]

Достаточно доказать, что при любом n и различных чисел все определители положительные. Для функции $Dis_n(b_1,...,b_n),b_i=a_i^2$ верно, что она равно нулю при наличии одинаковых $b_i=b_j$. Исследуя в окрестности этих точек и устанавливая, что нули $Dis_n(b_j)$ не более n-1 при фиксированных значениях для других можно доказать, что определитель всегда положителен, когда среди квадратов чисел нет одинаковых.
Это идея к доказательству, сам не проводил.

[lofar]

Пусть даны два набора чисел $a_1,\ldots,a_n$ и $b_1,\ldots,b_n$. Причем $\{a_1,\ldots,a_n\}\cap\{-b_1,\ldots,-b_n\}=\varnothing$. Матрицей Коши называется

$$ C(a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n)=\Bigl(\frac{1}{a_i+b_j}\Bigr)_{n\times n} $$

Определитель матрицы Коши равен

$$ {\rm det}C =\frac{\prod\limits_{i<j}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod\limits_{i, j}(a_i+b_j)}. $$

[Юстас]

Lofar, не подскажете где можно прочитать вывод формулы для определителя Коши? И вообще, где возникает такая конструкция?

[lofar]

Книжки с выводом этой формулы я не припомню. Доказывается она методом математической индукции. Дело в том, что всякая подматрица матрицы Коши есть опять матрица Коши и, следовательно, можно сделать шаг индукции.

Все это хороший пример того, что, иногда, более общая задача решается проще.

Что касается приложений. Матрица Коши любима криптогрфами и специалистами по теории кодирования. Дело в том, что у нее все миноры всех порядков отличны от 0 (когда $a_i$ и $b_j$ попарно различны). Поэтому, например, если взять первые $k$ строк этой матрицы, то получится проверочная матрица линейного кода с масимальным возможным кодовым расстоянием. Все это рассматривают над каким-нибудь конечным полем.

Эту же матрицу ненавидят те кто занимается численными методами. Причина в том, что матрица Коши, как правило, очень плохо обусловлена. Классический пример, если взять $a_i=b_i=i$, то соответствующая матрица Коши $C$ обратима. Вместе с тем, численное решение системы линейных уравнений вида $Cx=b$ требует специальных методов. Алгоритм Гаусса перестает справляться уже при сравнительно небольших $n$ (20-40).

[Руст]

На самом деле путь, который я указал приводит к вычислению определителя матрицы Коши. Определитель есть рациональное выражение, знаменатель которой очевиден. Учитывая равенство нулю при наличии одинаковых определяем и вид числителя.

[КАЗАКОВ]

Матрица симметричная с положительными элементами . В учебниках по линейке д.б. все разобрано.