2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Положительная определенность
Сообщение28.04.2006, 07:49 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Пусть $(a_1,..,a_n)$-последовательность ненулевых действительных чисел. Верно ли, что матрица [A_{ij}], A_{ij}=\frac{1}{a_i^2+a_j^2} неотрицательно определена?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:13 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
Используй критерий Сильвестра и метод иат индукции: для n=2 - справедливо, и т. д. должно несложно получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:19 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Если бы так просто было, я б не спрашивал. Действительно, для размерности 2 очевидно, а для 3 - уже нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:28 
Аватара пользователя


16/02/06
222
Украина
я же написал, что доказивать надо методом мат индукции:

припускаем что при $n=k$, тобто при $a_1,...,a_k$ утверждение справедливо, потом расматриваем случай $n=k+1$, и расклаиваем опредилитель по первой строчке, получаем сумму где фигурируют опредилители порякком меньше, которие >0 - ми припускакали, дальше сам

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:42 


21/11/05
19
Шымкент, Казахстан
Полоожительно определенная матрица это та матрица для которого собственные числа положителные вещественные числа. А отрицательно определенная матрица это матрица для которой среди собственных чисел имеется хотя бы одна отрицателная или комплексное число :!: :!: :!: :!:
можно исходит от этих фактов...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:45 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Миноры, фигурирующие в разложении по строке, не подходят под индуктивное предположение в силу несимметричности, да и сумма знакопеременная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:48 
Заслуженный участник


01/12/05
458
rashid писал(а):
Полоожительно определенная матрица это та матрица для которого собственные числа положителные вещественные числа. А отрицательно определенная матрица это матрица для которой среди собственных чисел имеется хотя бы одна отрицателная или комплексное число :!: :!: :!: :!:
можно исходит от этих фактов...

Спасибо, мне не нужно разжевывать мой же вопрос.

Citadeldimon, можете доказать хотя бы для размерности 3?
И заметьте, вопрос стоит "верно ли", то есть возможно существует контрпример.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 08:51 


21/11/05
19
Шымкент, Казахстан
Юстас
не переходите на личности и можите обидит других

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 09:12 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Rashid, не хотел никого обидеть, просто считаю, что писать нужно по делу, то есть по тому вопросу, который поставлен в начале.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.04.2006, 09:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Достаточно доказать, что при любом n и различных чисел все определители положительные. Для функции $Dis_n(b_1,...,b_n),b_i=a_i^2$ верно, что она равно нулю при наличии одинаковых $b_i=b_j$. Исследуя в окрестности этих точек и устанавливая, что нули $Dis_n(b_j)$ не более n-1 при фиксированных значениях для других можно доказать, что определитель всегда положителен, когда среди квадратов чисел нет одинаковых.
Это идея к доказательству, сам не проводил.

 Профиль  
                  
 
 Матрица Коши
Сообщение28.04.2006, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Пусть даны два набора чисел $a_1,\ldots,a_n$ и $b_1,\ldots,b_n$. Причем $\{a_1,\ldots,a_n\}\cap\{-b_1,\ldots,-b_n\}=\varnothing$. Матрицей Коши называется
$$
C(a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n)=\Bigl(\frac{1}{a_i+b_j}\Bigr)_{n\times n}
$$
Определитель матрицы Коши равен
$$
{\rm det}C =\frac{\prod\limits_{i<j}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod\limits_{i, j}(a_i+b_j)}.
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2006, 10:06 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Lofar, не подскажете где можно прочитать вывод формулы для определителя Коши? И вообще, где возникает такая конструкция?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2006, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Книжки с выводом этой формулы я не припомню. Доказывается она методом математической индукции. Дело в том, что всякая подматрица матрицы Коши есть опять матрица Коши и, следовательно, можно сделать шаг индукции.

Все это хороший пример того, что, иногда, более общая задача решается проще.

Что касается приложений. Матрица Коши любима криптогрфами и специалистами по теории кодирования. Дело в том, что у нее все миноры всех порядков отличны от 0 (когда $a_i$ и $b_j$ попарно различны). Поэтому, например, если взять первые $k$ строк этой матрицы, то получится проверочная матрица линейного кода с масимальным возможным кодовым расстоянием. Все это рассматривают над каким-нибудь конечным полем.

Эту же матрицу ненавидят те кто занимается численными методами. Причина в том, что матрица Коши, как правило, очень плохо обусловлена. Классический пример, если взять $a_i=b_i=i$, то соответствующая матрица Коши $C$ обратима. Вместе с тем, численное решение системы линейных уравнений вида $Cx=b$ требует специальных методов. Алгоритм Гаусса перестает справляться уже при сравнительно небольших $n$ (20-40).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.04.2006, 13:05 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
На самом деле путь, который я указал приводит к вычислению определителя матрицы Коши. Определитель есть рациональное выражение, знаменатель которой очевиден. Учитывая равенство нулю при наличии одинаковых определяем и вид числителя.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 11:39 


27/03/06
24
Матрица симметричная с положительными элементами . В учебниках по линейке д.б. все разобрано.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group