ТерВер. Проверьте правильность решения.

[gris]

Дело в недостаточной формализованности условия. В подобных задачах многое опускается, подразумевается по умолчанию. Иначе условие задачи было бы громоздким.
В самом деле - что значит, что прибор вышел из строя при использовании $k$ раз? Означает ли это, что прибор вышел из строя во время к-того применения? Или во время следующего? Или между ними? Тут возможны разночтения, хотя к математической стороне задачи они не имеют отношения. Как договоритесь, так и будете считать.
Ваша последняя формула сокращается. Чего-то Вы не то написали.

Добавлено спустя 1 час 15 минут 5 секунд:

Каждое использование прибора может быть признано успешным или неуспешным. Прибор считается невышедшим из строя после использования, если оно признано успешным. Если использование было признано неуспешным, то прибор считается вышедшим из строя и более не используется (как будто страховые условия пишем).
$G(k)$ это вероятность того, что прибор вышел из строя именно при $k+1$ использовании. То есть $k$ использований прошли успешно. $G(3)$ это вероятность того, что после двух использований прибор не вышел из строя, а на третьем вышел (может быть даже и не начав его).

Добавлено спустя 17 минут 10 секунд:

Кстати, многие думают, что $G(k)$ монотонно возрастает к 1, типа - ну после миллионного использования прибор уж точно сломается. Вы, наверное, тоже так думаете, если написали, что $P(A) = 1-G(m+1)$

[jockerg]

Цитата:

gris : "Каждое использование прибора может быть признано успешным или неуспешным. Прибор считается невышедшим из строя после использования, если оно признано успешным. Если использование было признано неуспешным, то прибор считается вышедшим из строя и более не используется (как будто страховые условия пишем).
$G(k)$ это вероятность того, что прибор вышел из строя именно при $k+1$ использовании. То есть $k$ использований прошли успешно. $G(3)$ это вероятность того, что после двух использований прибор не вышел из строя, а на третьем вышел (может быть даже и не начав его)."

Доходчиво. примерно разобрался.

Цитата:

gris : "Кстати, многие думают, что $G(k)$ монотонно возрастает к 1, типа - ну после миллионного использования прибор уж точно сломается. Вы, наверное, тоже так думаете, если написали, что $P(A) = 1-G(m+1)$"

Тут руководствовался тем, что если при m применениях прибор вышел из строя и вероятность = $G(m)$, то обратная величина при $m$ применениях, т.е. прибор из строя не вышел, будет $(1-G(m))$

Лекции и теорию ещё перечитал, и заметил, что вероятности при первых применениях и последующих не пересекаются, получается разложение произведения вероятностей $P(AB)=P(A)*P(B)$, как и записал в решении, и тогда сокращаются $(1-G(m+1))$. Блин.


и уже на много раз условие прочитал и после долгих дум пришел вариант такой, что $n$ - число всех применений, а $m$ - число 1-х применений(от 1 до $m$), где прибор из строя не вышел, а от $m+1 ... n$ применения прибора, где нужно найти его вероятность выхода из строя и тогда конечная формула приобретает вид $P(B/A)= \frac {G(n-(m+2)) * (1-G(m+1))} {(1-G(m))}$
все равно сокращается может так и должно быть?

[gris]

Эта формула верна для независимых событий. А разве они будут независимыми?
Вы невнимательны. $G(m+1)$ как раз равно вероятности того, что после $m$ использований прибор был ещё в строю, а на $m+1$ вышел из строя.
Прибор, как сапёр, выходит из строя только один раз.
Подумайте, вероятности какого события равно $1 - G(n+1)$? Наверное, отрицанию события, вероятность которого равна $G(n+1)$. Что же это за событие?
Чтобы нагляднее представить себе ситуацию, выпишите ряд $G(k)$ для прибора, который в первый раз ломается с вероятностью 0,5, в случае выживания служит ещё 9 раз, а потом списывается. А для прибора, который вообще не ломается? Который ломается исключительно на пятом использовании?
А если Вы напишете ряд для прибора, который при любом применении ломается с вероятностью 0.5, то Вы увидите, что $G(k)$ условная вероятность.

[ewert]

jockerg писал(а):

, получается разложение произведения вероятностей $P(AB)=P(A)*P(B)$,

"В действительности всё не так, как на самом деле":

$B=A\cdot B+\overline A\cdot B,$

причём слагаемые не пересекаются. А дальше -- всё зависит от того, что понимать под $G(k)$. Можно по предложению gris считать, что это вероятность выхода из строя на $k$-м испытании, только он зачем-то на единичку сбился. Но гораздо лучше считать это верятностью выхода из строя не позднее $k$-го испытания. Как, собственно, и подразумевал Henrylee, только он (опять же зачем-то) ещё и предел присобачил.

[gris]

Это препод так считает.

jockerg писал(а):

(преподаватель сказал, что, например, при $k=2, G(k)=G(3)$, почему???

Ну учитывая испорченный телефон, ясно о чём речь.

Я считаю, что разбирать такие задачи очень полезно для усвоения материала. С разными точками зрения, с конкретными примерами.

[Henrylee]

Если при следующих $n$ применениях, то

$$ \frac{G(m+n)-G(m)}{1-G(m)} $$

jockerg писал(а):

при $k=2, G(k)=G(3)$, почему???

Какая-то хрень.

Если $B - $"вышел за следующие $n$ применений", то $B\subset A$, и

$$ P(AB)=P(B)=G(m+n)-G(m) $$

Да, действительно, считаю, что $G(k)$ - вероятность, что прибор вышел в какой-то момент с 1-го по $k$-е применений. Эта вероятность, очевидно, возрастает. Правда, предел ее, вообще говоря, не единица, ибо (как было замечено gris, возможен случай, когда с положительной вероятностью время работы прибора бесконечно)

2ewert предел в прошлый раз присобачил для условия "прибор сломался вообще". В случае "прибо сломался в течение следующих $n$ применений после $m$ безуспешных попыток" вместо предела появилось $G(m+n)$

Добавлено спустя 8 минут 57 секунд:

Если же Вам показалось, что $n$ - число всех применений, то поменяйте $G(m+n)$ на $G(n)$. Ибо в этом случае $B$ - сломался за "время" $n$, $AB$ - сломался за в промежуток с $m+1$ до $n$.

[gris]

Что-то мы зашли в дебри...
jokerg запутался наверное. А ведь надо только внимательно прочитать, что $G(k)$ это условные вероятности, и найти нам надо условную вероятность.

Итак, $G(k)$ это вероятность того, что после $k$ успешных применений прибор сломается. То есть условная вероятность выхода из строя прибора при условии, что он прошёл благополучно $k$ применений.

Тогда $1 - G(k)$ это вероятность того, что после $k$ успешных применений прибор не сломается. То есть условная вероятность невыхода из строя прибора при условии, что он уже прошёл благополучно $k$ применений.

Пусть вероятность того, что прибор прошёл $m$ применений равна $P$. Обратим внимание, что событие "прошёл $k+1$ применение" включено в событие "прошёл $k$ применений". Можно применять известную формулу условной вероятности при нескольких вложенных условиях. Тогда вероятность того, что прибор прошёл успешно $n$ последующих применений равна
$P\cdot(1-G(m))\cdot(1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))...\cdot(1-G(m+n))$

А для нахождения условной вероятности, достаточно разделить это выражение на вероятность условия, то есть на $P$
Получим $(1-G(m))\cdot(1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))...\cdot(1-G(m+n))$

Если учесть альтернативную точку зрения, то ответ
$(1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))\cdot(1-G(m+3))...\cdot(1-G(m+n+1))$

Внёс поправки про вложенность условий и число испытаний, любезно подсказанные Henrylee

[Henrylee]

gris писал(а):

Что-то мы зашли в дебри...
jokerg запутался наверное. А ведь надо только внимательно прочитать, что $G(k)$ это условные вероятности, и найти нам надо условную вероятность.

Хорошо. Рассмотрим Ваш вариант трактовки условия.
Пусть $\tau$ - шаг, на котором прибор ломается.
Попробую попереводить на язык $\tau$.

gris писал(а):

Итак, $G(k)$ это вероятность того, что после $k$ успешных применений прибор сломается. То есть условная вероятность выхода из строя прибора при условии, что он прошёл благополучно $k$ применений.

$$ G(k)=P\{\tau<\infty|\tau>k\}=\frac{P\{k<\tau<\infty\}}{P\{\tau>k\}} $$

gris писал(а):

Тогда $1 - G(k)$ это вероятность того, что после $k$ успешных применений прибор не сломается. То есть условная вероятность невыхода из строя прибора при условии, что он уже прошёл благополучно $k$ применений.

$$ 1-G(k)=P\{\tau=\infty|\tau>k\}=\frac{P\{\tau=\infty\}}{P\{\tau>k\}} $$

gris писал(а):

Пусть вероятность того, что прибор прошёл $m$ применений равна $P$.

$$ P=P\{\tau>m\} $$

gris писал(а):

Обратим внимание, что событие "прошёл $k+1$ применение" включает в себя событие "прошёл $k$ применений".

наоборот, не "включает", а "включено в":

$$ \{\tau>k+1\}\subset\{\tau>k\} $$

gris писал(а):

Тогда вероятность того, что прибор прошёл успешно $n$ применений равна
$P\cdot(1-G(m))\cdot(1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))...\cdot(1-G(m+n))$

(я так понимаю, последующих $n$ применений)
то есть

$$ P\{\tau>m+n\}=P\{\tau>m\}P\{\tau=\infty|\tau>m\}\cdot...\cdot {P\{\tau=\infty|\tau>m+n\} $$

а эту формулу я уже не понимаю. Более того, мне вообще не понятно, как выразить заявленную в левой части вероятность через $G$.

Где я Вас понял неправильно?

[gris]

Henrylee, спасибо за справедливые замечания по поводу включённости событий и числа применений.
На свежую голову я увидел ещё одно недостающее ключевое слово: сразу.
Итак, $G(k)$ это вероятность того, что после $k$ успешных применений прибор сразу сломается. То есть условная вероятность выхода из строя прибора при условии, что он прошёл благополучно $k$ применений в Ваших терминах запишется как

$$G(k)=P\{\tau=k+1|\tau>k\}$$

А вот $1-G(k)$ будет равно условной вероятности, что прибор сломается не сразу, при условии, что он ещё не сломался.

$$1-G(k)=P\{\tau>k+1|\tau>k\}$$

Теперь вложенность условий запишется так:
$\{\tau>m\}\subset\{\tau>m+1\}\subset\{\tau>m+2\}\subset...\subset\{\tau>m+n\}$

И, наконец,

$$P\{\tau>m+n|\tau>m\}=P\{\tau>m+1|\tau>m\}\cdot P\{\tau>m+2|\tau>m+1\}\cdot P\{\tau>m+3|\tau>m+2\}\cdot...\cdot P\{\tau>m+n|\tau>m+n-1\}$$

Добавлено спустя 29 минут 20 секунд:

Но я еще раз повторю, что в мне не нравится постановка обычной учебной задачи, в которой надо ломать голову над трактовкой слов.
И ещё. Как бы это всё могло выглядеть в реальности. Предположим, я лаборант, который в эксперименте использует капризный прибор. Я прихожу на склад и вижу там несколько приборов, на которых наклеены бирки с указанием того, сколько раз каждый прибор использовался. Допустим, что кладовщик категорически отказывается выдавать приборы без обоснования.
Я смотрю в инструкцию и хочу там увидеть вероятность того, что я смогу успешно применить прибор еще раз, если он уже применялся 5 раз. И мне глубоко пофигу, выйдет ли он из строя после моего опыта. Мне нужно знать, закончу ли я эксперимент. И я хочу сказать кладовщику - мне шеф велел обеспечить хотя бы 60% успеха. А в инструкции сказано, что прибор ломается с вероятностью, меньшей 40%, только после каждого четного испытания. Или использовавшийся не более 3 раз.
Важно понять, что $G(k)$ даёт прогноз только на одно, следующее использование. Что она может равняться 1 только один раз. Что она может не быть монотонной.
И то, что она бесполезна без существенного уточнения. Кладовщику важно, чтобы ему вернули исправный прибор. А мне важно провести опыт. Если прибор - молоток, которым мне надо ударить один раз, то мне достаточно того, что он будет исправен в начале опыта. А если прибор должен три часа записывать показания, то мне нужно, чтобы он был исправен до конца эксперимента.
Чего-то разболтался...

[Henrylee]

gris писал(а):

Henrylee, спасибо за справедливые замечания по поводу включённости событий и числа применений.
На свежую голову я увидел ещё одно недостающее ключевое слово: сразу.

Мне кажется, Вы напрасно додумываете условие . Ну пусть теперь оно будет таким. Тогда, хотя влючения снова не в ту сторону:

gris писал(а):

Теперь вложенность условий запишется так:
$\{\tau>m\}\subset\{\tau>m+1\}\subset\{\tau>m+2\}\subset...\subset\{\tau>m+n\}$

ответ в конце верный.
Но это ответ, не на тот вопрос, который задан. Задан был, по-моему

$$ P\{m<\tau\leqslant m+n|\tau>m\} $$

то есть отнимаем то, что получилось, от единицы.

PS Мне кажется все же, что в условии подразумевается $G(k)=P\{\tau\leqslant k\}$.
PPS Очень интересно, почему в этой теме не проявился Архипов. Это ж его тема про корректность.
PPPS Дурацкая задача.

[gris]

Опять же с практической точки зрения - как можно вообще получить последовательность $G(k)$?
Ну для некоторых типов приборов можно и теоретически посчитать. Например, исли надежность прибора падает на 20% после каждого использования. Но вот если прибор сложный, многокомпонентный. Может быть у него надежность падает после каждого пятого испытания.
Предположим, что прибор используется в массовом количестве. Какую статистику мы можем по нему собрать? Самое естественное и простое - номер последнего успешного применения, после которого (во время которого, которое даже не началось - придется определиться) он сломался. После ста лет практики получим плотность вероятности случайной величины - количества произведенных успешных применений. А из неё можно и $G$ изготовить.

[Henrylee]

Если говорить о практике, то, насколько я помню, время работы прибора (в теории надежности) описывается экпоненциальным распределением, у которого, как известно, нет памяти,то есть верояность выхода из строя 'потом' не зависит от того, сколько прибор проработал до этого. В этой связи (на практике) Ваши $G(k)$ будут не условными, а безусловными, что-нибудь примерно типа $G(k)=P\{\tau=k+1\}$, (что ничем не отличается от моих $G(k)=P\{\tau\leqslant k\}$ (системы полностью эквивалетны) или даже вообще константа $G(k)=P\{\tau=1\}$

Добавлено спустя 16 минут 24 секунды:

Даже если плюнуть на экспоненциальное распределение, как Вы на практике толичите, что именно Вы измерили/оценили
$P\{\tau=k+1\}$ или $P\{\tau=k+1|\tau>k\}$?

[gris]

Это разные вещи! Я хоть из приборов только градусником пользовался, но чисто теоретически:
Подбрасываю монету, пока не выпадет герб. Как только выпал, считаю, что монета вышла из строя. Пусть $\tau$ - номер первого выпадения герба.
Ясно, что $P\{\tau=k+1|\tau>k\}=\frac 1 2$, то есть вероятность выпадения герба первый раз на сто первом бросании при условии, что первые сто раз выпала решка равна $\frac 1 2$.
А вот безусловная вероятность выпадения герба первый раз на сто первом бросании $P\{\tau=k+1\}=\frac 1 {2^{k+1}}$.
Если бы мы дискутировали чисто ради дискуссии, я бы выдвинул ещё несколько предположений, но они совсем не относятся к математической стороне вопроса.
Да ну их, эти приборы

[Henrylee]

gris писал(а):

Ясно, что $P\{\tau=k+1|\tau>k\}=\frac 1 2$, то есть вероятность выпадения герба первый раз на сто первом бросании при условии, что первые сто раз выпала решка равна $\frac 1 2$.

Ну кстати, это один из вариантов, о которых я говорил выше:

$$ P\{\tau=k+1|\tau>k\}=\frac 1 2=P\{\tau=1\} $$

gris писал(а):

Да ну их, эти приборы

Я так понимаю, дискуссия окончена. Хотя на вопрос Вы так и не ответили

Henrylee писал(а):

как Вы на практике толичите, что именно Вы измерили/оценили
$P\{\tau=k+1\}$ или $P\{\tau=k+1|\tau>k\}$?

[gris]

Henrylee, я не понимаю, к чему относится Ваш вопрос? Как я буду обрабатывать полученную статистику?
Приборы мне надоели потому, что мне всё стало понятно. И по совету Brukvaluba "только утверждайте, при этом старайтесь делать это так, чтобы Вас нельзя было опровергнуть"
я представляю формулу, основанную на нашем с Вами $\tau$-диалоге:

gris писал(а):

И, наконец,

$$P\{\tau>m+n|\tau>m\}=P\{\tau>m+1|\tau>m\}\cdot P\{\tau>m+2|\tau>m+1\}\cdot P\{\tau>m+3|\tau>m+2\}\cdot...\cdot P\{\tau>m+n|\tau>m+n-1\}$$

По этой формуле

$P(m,n) = (1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))\cdot(1-G(m+3))...\cdot(1-G(m+n))$

Задача: Я смотрю на прибор. На нём бумажка: "прибор использовался 5 раз и цел пока", а на другой бумажке написано: $G(4)=0,6, G(5)=0,7, G(6)=0,8$.

Итак,
$P(4;1) =(1-G(5))=0.3$

По Вашей формуле

$$R(4;1) =\frac{G(4+1)-G(4)}{1-G(4)}= \frac{0.7-0.6}{1-0.6}= 0.25$$

$P(4;2) =(1-G(5))\cdot(1-G(6))=0.06$

$$R(4;2) =\frac{G(4+2)-G(2)}{1-G(2)}= \frac{0.8-0.6}{1-0.6}= 0.5$$

Теперь возьмём абсолютно безотказный прибор. Для любого $k$ $G(k) = 0$
$P(5;1) =(1-G(6))=1$

$$R(5;1) =\frac{G(6)-G(5)}{1-G(5)}= 0$$

Теперь возьмём прибор с постоянным старением. Для любого $k$ $G(k) = 0.5$
$P(2;2) =(1-G(3))\cdot(1-G(4))=0.25$

$$R(2;2) =\frac{G(2)-G(4)}{1-G(2)}= 0$$

Неопровержимый ответ к задаче:
$P(m,n) = (1-G(m+1))\cdot(1-G(m+2))\cdot(1-G(m+3))...\cdot(1-G(m+n))$