Теорема Кантора: конец векового спора.

[Someone]

nilozov в сообщении #174516 писал(а):

с использованием знания о множестве - это когда вопрос принадлежности определяется не самим элементом, а его его отношением к чему-то иному (принадлежность элемента в ДПК определяется не им самим, а предполагаемым биективным отображением - это и есть использование знания о множестве)

Принадлежность элемента множеству определяется именно этим элементом и именно этим множеством. Безотносительно к каким-либо предикатам и определениям. Поскольку $x$ - элемент (множества $X$) и $f(x)$ - вполне определённое множество (подмножество множества $X$), ибо отображение $f$ считается заданным, то вопрос о принадлежности элемента $x$ множеству $f(x)$ решается вполне однозначно. Совершенно независимо от того, для каких целей мы собрались эту принадлежность использовать.

[вздымщик Цыпа]

nilozov в сообщении #174520 писал(а):

вам не кажется странным то, что предикат выделения задаётся на отображении, существование которого он опровергает?

Нет не кажется. Обычное дело. Предположили существование, построили предикат, получили противоречие. Что не так?

[Сомик]

nilozov в сообщении #174461 писал(а):

Но тогда элемент $t$ «содержится в $Z$ только в том случае, если он в нём не содержится». Неопределённость ответа на вопрос принадлежности противоречит предположению о том, что ДПК является предикатом выделения, поэтому это предположение является ложным (математики, ещё раз напомню, из этого противоречия делают вывод, что предположение о существовании биекции является ложным, что является логической ошибкой подмены посылки при разрешении противоречия). Никакого противоречия предположению существования биективного отображения не получено.

А мне кажется вот имеено в этом месте у вас и ошибка. данное противоречие опровергает хотя бы одно из сделанных предположений.
1) что существует $f$ - биекция
2) что существует данный ДПК, являющейся предикатом выделения.

И почему вы сразу заявляете, что оно опровергает имеено второе предположение - не ясно.

[MaximKat]

опять неясно
правильно ли я понимаю, что ваши претензии относятся не к утверждению теоремы самому по себе, а к конкретному способу ее доказательства?
будем рассматривать доказательство приведенное на вашем сайте под названием "демонстрация 1"
берется произвольное отображение $f:X\to 2^X$, строится предикат $P(x)=x\notin f(x)$, множество $Z=\{x\in X | P(x)\}$ и показывается, что не существует такого $t\in X$, для которого $f(t)=Z$. дальше пока пропустим
тут где-то опровергается существования какого-либо отображения?

[nilozov]

Мы с вами как на разных языках говорим.

Разве биективное отображение определённо задано? тогда приведите мне его конкретный пример.

Да, ДПК - является предикатов выделения, но только если он использует отображения в собственное подмножество множества всех подмножеств. Такие отображения можно действительно задать явно, поэтому ДПК для таких отображений действительно выделяет элемент, не охватываемый отображением. Но то, что для любого отображения в собственное подмножество существуют элементы, не охватываемые этим отображением - является аналитическим суждением - поэтому для его обоснования не нужно строить никаких элементов. Любой объект, который логически выводиться ТОЛЬКО из гипотезы, относится к сфере действия этой гипотезы, а потому должен опровергаться с последней. Существование биективного отображения - гипотеза, ДПК на этом отображении - тоже гипотетический объект. Вы же образованные люди: ни из какого допущения, оставаясь ЦЕЛИКОМ в его рамках, нельзя вывести утверждение, ему противоречащее. ДПК для гипотетического биективного отображения - есть предикат, который определяет гипотетическое подмножество на гипотетическом отображении. При сведении к противоречию не было использовано не было использовано никаких сторонних истинных утверждений, а потому такое доказательство теоремы Кантора очеведно может быть только паралогизмом.
Это черным по белому написано в статье.

[MaximKat]

nilozov
не надо так много слов
нет никакого биективного отображения в первой части доказательства, забудьте про него
есть произвольное отображение
какие у вас возражения против моего предыдущего поста?

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

nilozov в сообщении #174531 писал(а):

Вы же образованные люди: ни из какого допущения, оставаясь ЦЕЛИКОМ в его рамках, нельзя вывести утверждение, ему противоречащее.

неправда
из неверного утверждения можно вывести противоречащее ему утверждение
на этом основан принцип "от противного"

[nilozov]

Во первых - я действительно опровергаю только конкретное доказательство теоремы Кантора. Если вы сможете доказать эту теорему без использования ДПК - флаг вам в руки - и не забудьте потом нам сообщить это доказательство.

Во-вторых: противоречие может опровергать только одну, вполне определённую посылку, причём вы не можете её выбрать по произволу - если вы не знакомы с Логикой - то рекомендую ознакомиться. По вашему я могу добавить в доказательство ещё одну посылку - и потом, пользуясь правом выбора, при разрешении противоречия опровергнуть именно её. Это не логические методы. противоречие однозначно определяет посылку, которая к нему приводит. По правилу логики противоречие опровергает последнюю посылку, которая была сделана. "ДПК - предикат выделения для биективных отображений" - это последняя посылка в рассуждении доказательства.


В-третьих: надо внимательно читать статью - там очевидно сказано, что ДПК корректна, но только для отображений в собственное множество. В доказательстве же сказано, и не я это придумал, "пусть $f$ - отображение во множество". Я отлично знаю, что отображение на множество может трактоваться как отображение во множество, в доказательстве это и сделано. Но такая трактовка в данном случае - ошибка при субсумировании под правило. Правило, которое совершенно правильно доказывает доказательство Кантора, гласит: для любого отображения в собственное подмножество существует элемент, не принадлежащий этому подмножеству. Замедьте - теперь отображения НА множество уже нельзя трактовать как отображение в собственное подмножество, поэтому извольте представить доказательство этого правила явно для отображений НА множество всех подмножеств.

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

Хорошо. Возьмём утверждение "Бог (не) существует" -Возьмите утверждение, которое вы считаете ложны - и выведите из него противоречие, причем оставаясь только в рамках понятий бог и существует. А если серъёзно: из ложного утверждения можно вывести ложные утверждения, но ложность таких выведений должна быть доказаны привлечение утверждений, неоспоримость которых доказана. Я же ясно написал: "оставаясь ЦЕЛИКОМ в рамках"

Добавлено спустя 2 минуты 9 секунд:

и вы путаете - на этом основан не "принцип от противного", а апагогическое доказательство. Принци сам всё обоснует - его никто не обосновывает (по крайней мере в логике).

[MaximKat]

1.

nilozov в сообщении #174535 писал(а):

По правилу логики противоречие опровергает последнюю посылку, которая была сделана.

глупости
предположим, что $1+2=4$ и $-2-1=-3$, следовательно $0=1+2-2-1=4-3=1$ - неверно, значит $-2-2=-3$ (последнее предположение) - тоже неверно?

или даже круче, последнее предположение было, что можно складывать равенства - получается, что именно оно неверно - так?
2. я не понимаю ваших выражений "в множество, во множество, на множество"
давайте пользоваться терминами иньекция, сюрьекция и биекция
слово "субсумирование" не знает даже гугл

последний раз спрашиваю: что вам не нравится в следующем рассуждении?
берется произвольное отображение $f:X\to 2^X$, строится предикат $P(x)=x\notin f(x)$, множество $Z=\{x\in X | P(x)\}$ и показывается, что не существует такого $t\in X$, для которого $f(t)=Z$.
если не дадите четкий ответ - я умываю руки

[Сомик]

nilozov в сообщении #174535 писал(а):

По правилу логики противоречие опровергает последнюю посылку

По каком такому правилу? Укажите источник, где написано такое правило.

[nilozov]

Хорошо, как называется отображение в собственное подмножество?
(очевидно, такое отображение не обязано быть инъективным)
Чтобы избежать недоразумений, читайте в моих ответах вместо слов НА - биективное, ВО - инъективное отображение в СОБСТВЕННОЕ подмножество, хотя, строго говоря, это и не совсем математически корректно. Попрошу впредь понимать под словами НА и ВО только то, что я написал, и не писать мне, что я не знаком с этими терминами.

Дальше - не передёргивайте. Вы сами поняли свой пример? замените любое ваше числовое допущение истинным суждением, и что, ваше противоречие отрицает оба предположения? - Ведь очевидно, что ЛЮБОЕ истинное утверждение можно совершенно законно рассматривать в качестве посылки в любом доказательстве, хотя и наоборот не верно. А что касается двух ложным посылок - то ваше противоречие не разрашается утсранением одной посылки - именно поэтому они отрицаются обе, но не одновременно, а последовательно.

Добавлено спустя 3 минуты 18 секунд:

Извините - я невнимательно прочитал ваши цыфры. Сейчас исправлю.

[MaximKat]

nilozov

nilozov в сообщении #174543 писал(а):

Хорошо, как называется отображение в собственное подмножество?

не сюръективным
если вы пользуетесь какой-то терминологией незнакомой собеседнику, то или определите ее здесь (математически корректно) или приведите ссылку на источник

правильно ли я понимаю, что вы утверждаете, что в первом предложении "демонстрации 1" делается предположение, что $f$ не сюръективна?

[nilozov]

В вашем случае всё тривиально: напишите суждение, которому противоречит утверждение 1+2-2-1=1 явно: так вот, это суждение противоречит утверждению 1+2=4 ещё до того, как вы использовали закон сложения двух суждений, поэтому противоречие получается до вашей "последней посылки". Вообще у вас слишком неполный пример (надо определить все законы действия с числами, правила суммирования и т.д. - как только вы это полностью сделаете - вы получите противоречие апагогическим доказательством и без последней, истинной посылки)

Признаться, мы подошди на тот уровень обсуждения, достигнуть которого я опасался больше всего: начинаю опровергать не мои утверждения, а законы логик, на которых и построена моя аргументация. Вы, уважаемы противники, не первые в использовании таких методов. Про Боуэра вы, конечно же, знаете.

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

Действительно, "не сюрьективное" - мне почему-то это в голову не пришло. Извините.

Да, правильно. ДПК корректна только для не-сюръективных отображений. Но я уже об этом столько раз писал! - читайте внимательно.

[MaximKat]

ох, что-то вы мутите воду... но я как раз не хочу скатываться в философские рассуждения, поэтому вернемся к теме

ваш текст доказательства - он из какой-то книги? если да, то из какой? я подозреваю, что вы или неправильно переписали, или ваши определения отличаются от определений этой книги

[nilozov]

Субсумировать - значит подводить под действие правила.Это слово образовано от латинского глагола subesse. Этот термин распространён в философии и логике. Почему Google должен всё знать?

[MaximKat]

nilozov
приведите, пожалуйста, источник рассматриваемого доказательства