arqady писал(а):
La|Verd писал(а):
2. Решить уравнение:
![$x=\sqrt[3]{3x-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/8/a289213b68b67018e0f0d53b28f5275b82.png "$x=\sqrt[3]{3x-1}$")
Подстановка
дает все корни.
Будем считать, что кубический корень извлекается из любого действительного числа (по моему, это стандартное соглашение,
определено только при
, а
![$\sqrt[3]{x}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/5/ab581c2338e8b905c9c807686656132982.png "$\sqrt[3]{x}$")
определено при всех действительных
). Это означает, что исходное уравнение равносильно уравнению
или
Подстановка
вместе с формулой
даёт
,
и
. Отсюда
и
. Теперь если ограничить
на полуинтервал
(нам ведь нужно только значение косинуса
), то получаем
Приняв во внимание чётность косинуса, выкидываем из этого множества отрицательные значения, которые по модулю совпадают с положительными. Остаётся
Небольшое упражнение с калькулятором даёт нам следующую информацию. Числа
действительно являются корнями уравнения
. Таким образом, все три корня найдены и всё тип-топ.
Остаётся вопрос: нужно ли оставлять ответ в таком виде или эти косинусы надо вычислять в радикалах. Я не вижу, как можно перейти к радикалам, не используя формулы Кардано. С другой стороны, аргумент у каждого следующего косинуса вдвое больше аргумента предыдущего, так что достаточно вычислить один косинус, а затем работать с формулой косинуса удвоенного угла.
![$\sqrt[3]{(arctg{x})^2}+\sqrt[3]{(arcctg{x})^2}<\sqrt[3]{(arcsin{x})^2}+\sqrt[3]{(arccos{x})^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/2/ad26a25e1a94ed596157cf068410dcb582.png "$\sqrt[3]{(arctg{x})^2}+\sqrt[3]{(arcctg{x})^2}<\sqrt[3]{(arcsin{x})^2}+\sqrt[3]{(arccos{x})^2}$")
. 100 тут конечно не степень, а повторение функции. Частные решения - решения уравнения 
, где d - делитель числа 100. Для d=1 еще легко решить, а вот как быть с остальными d я не знаю. У меня была такая система где f была квадратичной функцией. Я там замучился. Попробую... Надо область определения наверное глянуть..., монотонность...
![\[
\begin{gathered}
\sqrt {5 - x_i^2 } = \log _2 x_{i + 1} \hfill \\
i = 1,...,110 \hfill \\
x_{111} \equiv x_1 \hfill \\
x_{i + 1} = f\left( {x_i } \right) \equiv 2^{\sqrt {5 - x_i^2 } } \hfill \\
f\left( {x_1 } \right) = 2^{\sqrt {5 - x_1^2 } } \equiv f^1 \hfill \\
f\left( {x_2 } \right) = 2^{\sqrt {5 - x_2^2 } } = 2^{\sqrt {5 - 2^{2\sqrt {5 - x_1^2 } } } } \equiv f^2 \hfill \\
... \hfill \\
f\left( {x_i } \right) = f^i \left( {x_1 } \right) \Rightarrow x_1 = f^{111} \left( {x_1 } \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/2/f522bfc7da04b4104032df6ed99bba9882.png "\[
\begin{gathered}
\sqrt {5 - x_i^2 } = \log _2 x_{i + 1} \hfill \\
i = 1,...,110 \hfill \\
x_{111} \equiv x_1 \hfill \\
x_{i + 1} = f\left( {x_i } \right) \equiv 2^{\sqrt {5 - x_i^2 } } \hfill \\
f\left( {x_1 } \right) = 2^{\sqrt {5 - x_1^2 } } \equiv f^1 \hfill \\
f\left( {x_2 } \right) = 2^{\sqrt {5 - x_2^2 } } = 2^{\sqrt {5 - 2^{2\sqrt {5 - x_1^2 } } } } \equiv f^2 \hfill \\
... \hfill \\
f\left( {x_i } \right) = f^i \left( {x_1 } \right) \Rightarrow x_1 = f^{111} \left( {x_1 } \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]")
![\[
f^i \left( {x_1 } \right)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/b/65b3f2287b2e49ec5d41c3cdceaf143982.png "\[
f^i \left( {x_1 } \right)
\]")
. ![\[
f^1
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/b/42ba8ba55d8a6970d871476b5eb02b6982.png "\[
f^1
\]")
- убывает, ![\[
f^2
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/2/c827702e41c3ad95a4ab22721817ef0482.png "\[
f^2
\]")
- возрастает и т.д. Поэтому функция ![\[
f^{111}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/c/d1c5fef4f6f980538648f0051d66664082.png "\[
f^{111}
\]")
убывает, а ![\[
g = x_1
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/7/d17194749a40119fd3f217d717b42c0082.png "\[
g = x_1
\]")
возрастает, поэтому решение существует и единственное, очевидно - 
. Вообще, 
для всех 
.
![\[
\begin{gathered}
f = \arctan x \hfill \\
g = \arcsin x \hfill \\
\sqrt[3]{{f^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - f} \right)^2 }} < \sqrt[3]{{g^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - g} \right)^2 }} \hfill \\
\sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right)}} < \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {\pi - f - g} \right)}} \hfill \\
\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right) < \left( {f - g} \right)\left( {\pi - f - g} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/5/05556199fc5ca7872acc385ae9f2b1f782.png "\[
\begin{gathered}
f = \arctan x \hfill \\
g = \arcsin x \hfill \\
\sqrt[3]{{f^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - f} \right)^2 }} < \sqrt[3]{{g^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - g} \right)^2 }} \hfill \\
\sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right)}} < \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {\pi - f - g} \right)}} \hfill \\
\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right) < \left( {f - g} \right)\left( {\pi - f - g} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]")
![\[
\begin{gathered}
\sqrt[3]{{f^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - f} \right)^2 }} < \sqrt[3]{{g^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - g} \right)^2 }} \hfill \\
\sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right)}} < \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {\pi - f - g} \right)}} \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/7/97748626bb5ac06c456572cac05296d982.png "\[
\begin{gathered}
\sqrt[3]{{f^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - f} \right)^2 }} < \sqrt[3]{{g^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - g} \right)^2 }} \hfill \\
\sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right)}} < \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {\pi - f - g} \right)}} \hfill \\
\end{gathered}
\]")