Неравенство, уравнение и система

[bot]

Первая. С помощью функции $f(t)=\sqrt[3]{t^2} + \sqrt[3]{(\frac{\pi}{2}-t)^2}$ неравенство переписывается в виде:
$f(\arctg x) < f(\arcsin x)= f(\arccos x)$.
Рассматриваем три промежутка монотонности $f(t)$ и получаем $x\in [-1; 0) \cup (0; \sqrt {\frac{\sqrt 5 - 1}{2}}\Big)$.

P.S. Эту тему пропустил - скорее всего не вдохновился заголовком и "прочитал не глядя", так что про "выверт" меня успели опередить arqady и worm2, присоединяюсь к оценке последнего.

[TOTAL]

La|Verd писал(а):

3. Решить систему уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{5-x_1^2} = log_2 x_2,\\ \sqrt{5-x_2^2} = log_2 x_3,\\ ...\\ \sqrt{5-x_{109}^2} = log_2 x_{110},\\ \sqrt{5-x_{110}^2} = log_2 x_1. \end{array} \right. $

Очевидно, что если и есть решение с различными иксами, то оно строго пилообразно, т.е. представляет собой чередующиеся числа, удовлетворяющие системе
$\sqrt{5-x^2} = \log_2 y$
$\sqrt{5-y^2} = \log_2 x$
То есть должно выполняться равенство $(x-\log_2 x)(x+\log_2 x)=(y-\log_2 y)(y+\log_2 y)$ которое выполниться не может, т.к. при $x>2>y>1$ левая часть больше правой из-за того, что функции $F(x)=x \pm \log_2 x$ монотонно возрастают.

[bot]

У-п-с, как-то я сегодня невнимательно читаю - думал, что этот вопрос уже закрыли.

TOTAL в сообщении #177941 писал(а):

Очевидно, что если и есть решение с различными иксами, то оно строго пилообразно

Очевидность "пилы" - прикол очень древний.

$f(x)=2^{\sqrt{5-x^2}}$ - убывающая функция, поэтому $f^2(x)=f(f(x))$ - возрастающая.
Если для некоторого $x$ выполнено неравенство $f^2(x)>x$, то $f^4(x)>f^2(x)>x \, \dots \, f^{110}(x)>x$. Аналогично, если $f^2(x)<x$.