2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неравенство, уравнение и система
Сообщение02.01.2009, 22:22 


15/02/07
67
Киев
1. Решить неравенство:
$\sqrt[3]{(arctg{x})^2}+\sqrt[3]{(arcctg{x})^2}<\sqrt[3]{(arcsin{x})^2}+\sqrt[3]{(arccos{x})^2}$

2. Решить уравнение:
$x=\sqrt[3]{3x-1}$

3. Решить систему уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt{5-x_1^2} = log_2 x_2,\\ 
\sqrt{5-x_2^2} = log_2 x_3,\\ 
...\\
\sqrt{5-x_{109}^2} = log_2 x_{110},\\ 
\sqrt{5-x_{110}^2} = log_2 x_1.
\end{array} \right.
$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 17:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ну второе-то уравнение - по формуле Кардано, либо численными.

Если кто знает методы решений уравнений типа 3 напишите плз.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 21:50 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Sonic86 писал(а):
Ну второе-то уравнение - по формуле Кардано, либо численными.


Да, формулы Кардано, конечно, сработают. С отсечением лишних корней, естественно; там вроде остаётся один корень, близкий к двойке.

Но у меня такое ощущение, что именно у этой задаче есть какой-то довольно изящный выверт, помогающий быстро найти решение без всяких формул Кардано. Его bot должен знать! Надо дождаться, пока bot сюда зайдёт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.01.2009, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Какой уж тут выверт, если красивых корней всё равно нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 00:08 


15/02/07
67
Киев
Есть тут выверт... Очень даже красивый выверт... Но я совершенно забыл, какой именно. Потому и спрашиваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство, уравнение и система
Сообщение06.01.2009, 00:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
La|Verd писал(а):
2. Решить уравнение:
$x=\sqrt[3]{3x-1}$


Подстановка $$x=2\cos\alpha$$ дает все корни. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Чёрт. Ведь да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство, уравнение и система
Сообщение06.01.2009, 02:41 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
arqady писал(а):
La|Verd писал(а):
2. Решить уравнение:
$x=\sqrt[3]{3x-1}$


Подстановка $$x=2\cos\alpha$$ дает все корни. :wink:


Будем считать, что кубический корень извлекается из любого действительного числа (по моему, это стандартное соглашение, $x^{1/3}$ определено только при $x \geqslant 0$, а $\sqrt[3]{x}$ определено при всех действительных $x$). Это означает, что исходное уравнение равносильно уравнению $x^3 = 3x-1$ или

$$
\frac{x^3 - 3x}{2} = -\frac{1}{2}
$$

Подстановка $x = 2\cos \alpha$ вместе с формулой $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos \alpha$ даёт $\cos 3\alpha = -1/2$, $3\alpha = 2\pi/3 + 2\pi k$ и $3\alpha = 4\pi/3 + 2\pi k$. Отсюда $\alpha = 2\pi/9 + 2\pi k/3$ и $\alpha = 4\pi/9 + 2\pi k/3$. Теперь если ограничить $\alpha$ на полуинтервал $[-\pi,\pi)$ (нам ведь нужно только значение косинуса $\alpha$), то получаем

$$
\alpha \in \left\{ -\frac{8\pi}{9}, -\frac{4\pi}{9}, -\frac{2\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \right\}
$$

Приняв во внимание чётность косинуса, выкидываем из этого множества отрицательные значения, которые по модулю совпадают с положительными. Остаётся

$$
\alpha \in \left\{ \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \right\}
$$

Небольшое упражнение с калькулятором даёт нам следующую информацию. Числа

$$
2\cos \frac{2\pi}{9} \approx 1.5321
$$
$$
2\cos \frac{4\pi}{9} \approx 0.3473
$$
$$
2\cos \frac{8\pi}{9} \approx -1.8794
$$

действительно являются корнями уравнения $x^3-3x+1=0$. Таким образом, все три корня найдены и всё тип-топ.

Остаётся вопрос: нужно ли оставлять ответ в таком виде или эти косинусы надо вычислять в радикалах. Я не вижу, как можно перейти к радикалам, не используя формулы Кардано. С другой стороны, аргумент у каждого следующего косинуса вдвое больше аргумента предыдущего, так что достаточно вычислить один косинус, а затем работать с формулой косинуса удвоенного угла.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Я, если честно, всё равно не понимаю, при чём здесь олимпиадность. "Выверт" совершенно стандартный. Решение следует из формулы Кардано, если вычислять кубические корни из комплексных чисел путём перехода к тригонометрической форме комплексного числа (а по другому и не получится).
Единственная красота здесь в том, что у данного уравнения очень удобные коэффициенты, а в общем случае будут громоздкие выражения.
Насколько я знаю, в таких задачах решение невозможно свести к выражению из радикалов и рациональных чисел (если только случайно нет рационального корня).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 12:02 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
worm2, try it:
http://dxdy.ru/topic7476-15.html#71144

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Хе, там же по сути уравнение 8-й степени :)
А приёмчик этот стандартный только для кубических.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 17:05 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Да, прикольно, только все равно ответ не "простой". Ум его принимает из-за простоты видимости. В принципе он даже считается легче. Кстати, используя кубические корни из 1 можно из первого корня кардано найти остальные. А калькулятором можно найти и итерационно повторяя вычисления из исходного уравнения...

Насчет 3: идея такая: уравнения имеют вид
$x_{k+1}=2^{\sqrt{5-x_k^2}}=f(x_k), k=1,...,100$
И тогда систему можно записать как $x_k=f^{100}(x_k)$. 100 тут конечно не степень, а повторение функции. Частные решения - решения уравнения $x_k=f^d(x_k)$, где d - делитель числа 100. Для d=1 еще легко решить, а вот как быть с остальными d я не знаю. У меня была такая система где f была квадратичной функцией. Я там замучился. Попробую... Надо область определения наверное глянуть..., монотонность...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Я делал так:

\[
\begin{gathered}
  \sqrt {5 - x_i^2 }  = \log _2 x_{i + 1}  \hfill \\
  i = 1,...,110 \hfill \\
  x_{111}  \equiv x_1  \hfill \\
  x_{i + 1}  = f\left( {x_i } \right) \equiv 2^{\sqrt {5 - x_i^2 } }  \hfill \\
  f\left( {x_1 } \right) = 2^{\sqrt {5 - x_1^2 } }  \equiv f^1  \hfill \\
  f\left( {x_2 } \right) = 2^{\sqrt {5 - x_2^2 } }  = 2^{\sqrt {5 - 2^{2\sqrt {5 - x_1^2 } } } }  \equiv f^2  \hfill \\
  ... \hfill \\
  f\left( {x_i } \right) = f^i \left( {x_1 } \right) \Rightarrow x_1  = f^{111} \left( {x_1 } \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Теперь рассмотрим функции \[
f^i \left( {x_1 } \right)
\]. \[
f^1 
\] - убывает, \[
f^2 
\] - возрастает и т.д. Поэтому функция \[
f^{111} 
\] убывает, а \[
g = x_1 
\] возрастает, поэтому решение существует и единственное, очевидно - $x_1=2$. Вообще, $x_i=2$ для всех $i$.

Добавлено спустя 21 минуту 30 секунд:

В первой задаче начал так:

\[
\begin{gathered}
  f = \arctan x \hfill \\
  g = \arcsin x \hfill \\
  \sqrt[3]{{f^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - f} \right)^2 }} < \sqrt[3]{{g^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - g} \right)^2 }} \hfill \\
  \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right)}} < \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {\pi  - f - g} \right)}} \hfill \\
  \left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right) < \left( {f - g} \right)\left( {\pi  - f - g} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Дальше вроде все понятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2009, 23:49 


15/02/07
67
Киев
ShMaxG писал(а):
Теперь рассмотрим функции \[
f^i \left( {x_1 } \right)
\]. \[
f^1 
\] - убывает, \[
f^2 
\] - возрастает и т.д. Поэтому функция \[
f^{111} 
\] убывает, а \[
g = x_1 
\] возрастает, поэтому решение существует и единственное, очевидно - $x_1=2$. Вообще, $x_i=2$ для всех $i$.

Не понял... В чем же получается противоречие?
Ведь \[
f^1 
\] убывает, и \[
f^{111} 
\] убывает тоже.

Добавлено спустя 7 минут 59 секунд:

ShMaxG писал(а):
\[
\begin{gathered}
  \sqrt[3]{{f^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - f} \right)^2 }} < \sqrt[3]{{g^2 }} + \sqrt[3]{{\left( {\frac{\pi }
{2} - g} \right)^2 }} \hfill \\
  \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right)}} < \sqrt[3]{{\left( {f - g} \right)\left( {\pi  - f - g} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} 
\]

Как осуществляется переход между этими строчками? По разности квадратов ведь совсем другое получается...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2009, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
La|Verd писал(а):
ShMaxG писал(а):
Теперь рассмотрим функции \[
f^i \left( {x_1 } \right)
\]. \[
f^1 
\] - убывает, \[
f^2 
\] - возрастает и т.д. Поэтому функция \[
f^{111} 
\] убывает, а \[
g = x_1 
\] возрастает, поэтому решение существует и единственное, очевидно - $x_1=2$. Вообще, $x_i=2$ для всех $i$.

Не понял... В чем же получается противоречие?


Нет никакого противоречия.

La|Verd писал(а):
Как осуществляется переход между этими строчками? По разности квадратов ведь совсем другое получается


Да, это я виноват...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group