Ряды

[ewert]

Да вот ИСН вроде знает, о чём речь, но я лично, честно говоря, его сообщения не понял:

ИСН в сообщении #173064 писал(а):

Со степенями двойки - да, так (одна серия показателей пробегает натуральный ряд, перепрыгивая через квадраты, а другая - оттоптавшись на них же по два раза).

[id]

$<n>=1$ для $n = 1,2$. Итого в сумме $2 \times 1^2$.
$<n>=2$ для $n = 3,4,5,6$. Итого в сумме $2 \times 4 = 2 \times 2^2$.
$<n>=3$ для $n = 7-12$. Итого в сумме $3 \times 6 = 2 \times 3^2$
И так далее, $<n> = k, n(k) = 2 \times k$

Наверно, что-то вроде этого имелось ввиду ( хотя доказать всё это и посчитать до конца что-то сразу не выходит )

[bundos]

Найти сумму ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(n+1)}{n!}$$

.

[mkot]

Сначала сделаем формальные рассуждения:
Рассмотрим $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n(n+1)}{n!}.$
Тогда $f(2)$ -- искомая сумма.
Интегрируя, получим:
$\int f(x)\mathrm{d}x = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n!} = x\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n!} = x(\mathrm{e}^x - 1)$.
Дифференцируем:
$f(x) = (x+1)\mathrm{e}^x - 1$.
Имеем: $f(2) = 3\mathrm{e}^2 - 1$.
Остаётся обосновать дифференцирование и интегрирование ряда и, быть может, сходимость некоторых рядов.

[antbez]

bundos писал(а):

Исследовать на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4\sin\ n}$$

.

Я так понимаю, что для того ряда проблема в точках $n= \pi k$, так как для остальных $n$ его сходимость легко доказывается...

[AD]

antbez, Вы хорошо поняли, что только что сказали?

P.S. Я бы это написал ЛСкой, но хотел поздравить Вас с 80000-ным сообщением в разделе "Математика"

[antbez]

Замечание UCH насчёт иррациональности $\ pi$ я понял, хотя, на первый взгляд, такие $k$ и $n$, для которых $\pi=\frac {n}{k}$, нельзя подобрать.

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

AD!

Выскажитесь сами насчёт сходимости данного ряда!

[AD]

antbez в сообщении #173183 писал(а):

для остальных $n$ его сходимость легко доказывается...

Сходимость - она "вообще", она не "для таких-то $n$". Вот кабы это был функциональный ряд - то да.

antbez в сообщении #173185 писал(а):

на первый взгляд, такие $k$ и $n$, для которых $\pi=\frac kn$, нельзя подобрать.

Это Вы только что сформулировали определение иррационального числа.

Иррациональность числа $\pi$ общеизвестна (мне это даже через неделю сдавать ), но вот ИСН говорил про какую-то меру иррациональности. То есть примерно о вопросе "насколько близко могут приближаться к $\pi$ числа со знаменателем не выше $n$?". Популярно: ясно, что можно найти $k$ и $n$ такие, что $|\frac kn-\pi|$ сколь угодно мал. Но это будет достигаться неограниченным увеличением $n$. То есть если рациональные числа близко мельтешат вокруг $\pi$ - то ряд будет расходиться, если не очень - то сходиться. А насколько густо они там вокруг $\pi$ - со слов ИСН, никто не знаю. Короче, своего мнения не имею, но читал.

[antbez]

Цитата:

Сходимость - она "вообще"

А то я сам этого не знаю!!! Я как раз и написал о "проблемных" значениях- если б их не было, то вопрос о сходимости решался бы точно! Так что Вы мне тут ничего нового не сообщили... Вопрос только в том, можно ли считать ряд сходящимся...

[AD]

antbez в сообщении #173189 писал(а):

Я как раз и написал о "проблемных" значениях- если б их не было, то вопрос о сходимости решался бы точно!

Их нету. Это общеизвестно. Но никак не помогает решить вопрос о сходимости. Я написал именно это.

Добавлено спустя 49 секунд:

antbez в сообщении #173189 писал(а):

А то я сам этого не знаю!!!

antbez в сообщении #173183 писал(а):

для остальных $n$ его сходимость легко доказывается...

Нехорошо как-то. Ну Вы, скажем, знаете, а уверены ли Вы, что это знает автор темы? Ну в-общем призываю к аккуратности.

[bundos]

Бесконечная последовательность действительных чисел образована по правилу

$$a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}$$

, $a_1=1$. Исследовать на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\cdot a_n}$$

.

[ИСН]

Сходится, ибо $a_n$ растёт "примерно как" (здесь нужны волшебные слова) $\sqrt{2n}$.

[bundos]

Исследовать на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{{x_n}^2}$$

, где $x_n$- положительные корни уравнения $x=\tg x$, занумерованные в порядке возрастания.

[AD]

Очевидно, $\pi n\le x_n\le \pi (n+1)$.

[bundos]

Бесконечная последовательность комплексных чисел $\{z_n\}$, из которых ни одно не равно нулю, удовлетворяет соотношению $|z_n-z_m|>1$ для любых $m,n$. Исследовать на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{{z_n}^3}$$

.