Ряды

[bundos]

Пусть $A>0$. Каковы возможные значения суммы

$$\sum_{j=0}^{\infty}{x_j}^2$$

, если

$$\sum_{j=0}^{\infty}x_j=A$$

?

[ИСН]

Очевидно, любое положительное число.

[bundos]

Очевидно? Из каких соображений вам стало это очевидно?

[Someone]

Ну, пусть $x_j=0$ для всех $j>2$. Подберите $x_0,x_1,x_2$ так, чтобы выполнялись равенства

$$\begin{cases}x_0+x_1+x_2=A\text{,}\\x_0^2+x_1^2+x_2^2=B\text{,}\end{cases}$$

где $A$ и $B$ - любые числа.

[mkot]

Someone писал(а):

где $A$ и $B$ - любые числа.

$B \geqslant 0$. :)

[Someone]

mkot в сообщении #174426 писал(а):

$B \geqslant 0$.

Ну да. На самом деле при трёх ненулевых слагаемых должно быть даже $B\geqslant\frac{A^2}3$ (если я не наврал в преобразованиях). Надо посмотреть, что будет при увеличении числа ненулевых слагаемых.