Задача по распределению Пуассона

[odys-31]

Пусть $\xi_n$случайные велечины, распределенные по закону пуассона с интенсивностью $\lambda=\frac 1 n$. Показать, что $\xi_n\xrightarrow{P}0$

[--mS--]

Так: $\buildrel P \over \to$. Задача простейшая. Что требуется доказать? Сформулируйте по определению этой сходимости.

[Someone]

odys-31 в сообщении #172308 писал(а):

Не смог разобраться как ставить P над знаком стремиться.

$\xi_n\xrightarrow{P}0$, $\xi_n\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ или $\xi_n\xrightarrow[n\to\infty]{P}0$.

$\xi_n\xrightarrow{P}0$, $\xi_n\xrightarrow[P]{}0$ или $\xi_n\xrightarrow[n\to\infty]{P}0$

Код формулы можно посмотреть, наведя на неё курсор мыши или нажав кнопку .

[odys-31]

Спасибо за math вид и за руководство по TEX
Доказать требуется стремление $\xi_n$ к 0 по вероятности.

[Someone]

odys-31 в сообщении #172316 писал(а):

Мне бы Math Code этого.

Только больше времени будете тратить на набор формул. Коды всяких символов можно найти в темах http://dxdy.ru/topic183.html и http://dxdy.ru/topic8355.html. также скачайте руководство по \TeXу и читайте его. Пригодится.

[odys-31]

--mS-- писал(а):

Так: $\buildrel P \over \to$. Задача простейшая. Что требуется доказать? Сформулируйте по определению этой сходимости.

Для последовательности
$\forall\epsilon\>0 \lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ -\xi\|>\epsilon)=0$
Ну и собственно распределение Пуассона.
$ p(k)\equiv P(Y=k)=\frac{\lambda^k} {k!} {e^{-\lambda}
В принципе что это верно - интуитивно понятно. Но как это записать?...

[Jnrty]

Jnrty:

odys-31, Вам только что объяснили, как писать формулы. И Вы тут же начали нарушать правила. Тему отправляю в "Карантин" до исправления. Потеряете больше часа.

P.S. Предел записывается так:

$$\lim_{n\to\infty}\ldots$$

или
$\lim\limits_{n\to\infty}\ldots$

$$\lim_{n\to\infty}\ldots$$ или $\lim\limits_{n\to\infty}\ldots$

Добавлено спустя 1 час 51 минуту 7 секунд:

Jnrty:

Возвращаю.

У Вас в одной формуле опечатка. Знак неравенства пропал из-за того, что Вы перед ним поставили "\".

[--mS--]

И из-за слэша же вместо $\ldots \xi | \ldots$ получилось $\ldots \xi\| \ldots$.

Никакой $\xi$ у Вас нет. Ещё раз: запишите по определению, что именно нужно доказать. А потом поищите средства доказать сходимость вероятностей к нулю: неравенства какие-нибудь, например.

[odys-31]

--mS-- писал(а):

И из-за слэша же вместо $\ldots \xi | \ldots$ получилось $\ldots \xi\| \ldots$.

Никакой $\xi$ у Вас нет. Ещё раз: запишите по определению, что именно нужно доказать. А потом поищите средства доказать сходимость вероятностей к нулю: неравенства какие-нибудь, например.

Собственно разве это
$\forall\epsilon\>0 \lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ -\xi\|>\epsilon)=0$
$ p(k)\equiv P(Y=k)=\frac{\lambda^k} {k!} {e^{-\lambda}
не те определения?
Средства доказательства сходимости, нахожу к сожалению исключительно из матанализа. К сожалению они не совсем применимы.

[--mS--]

Ждёте, пока модератор отправит тему в карантин? Исправьте свои формулы. И замените $\xi$ на то, что нужно. После этого будем искать неравенства.

[odys-31]

--mS-- писал(а):

Ждёте, пока модератор отправит тему в карантин? Исправьте свои формулы. И замените $\xi$ на то, что нужно. После этого будем искать неравенства.

Из того, что я нарешал получилось приблизительно следующее.
$\forall\epsilon>0 \lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |>\epsilon)=0$
$ p(k)\equiv P(Y=k)=\frac{\lambda^k} {k!} {e^{-\lambda}


\lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |>\epsilon) < \lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |\geqslant1) = 1 - \lim_{n\to\infty}\ P(\xi_n\ =0) = 1- 1 = 0
Однако это слишком из матанализа). Как бы это сделать с помощью к примеру неравенства чебышева?

[GAA]

Для $0 < \varepsilon < 1$ в случае рассматриваемой дискретной случайной величины имеем
$\mathsf P \{|\xi_n| > \varepsilon\} = \mathsf P \{|\xi_n| \ge 1\} =1- \mathsf P \{|\xi_n| = 0\} =1- e^{-\lambda} =1- e^{-1/n}$.
Поэтому $\lim\limits_{n \to \infty} \mathsf P \{|\xi_n| > \varepsilon\} = \lim\limits_{n \to \infty} 1 - e^{-1/n} = 1-1 = 0$.

Добавлено спустя 12 минут 30 секунд:

Неравенство Маркова (см., например, лекции по ТВ за 2005 г. Н.И. Черновой, глава «Куда и как сходятся последовательности случайных величин»). Если $\mathsf E|\xi| < \infty$, то для $\forall\varepsilon > 0$ имеет место
$\mathsf P \{|\xi|\ \ge \varepsilon\} \le \frac{\mathsf E|\xi|}{\varepsilon}$.
Остается найти математическое ожидание ($\mathsf E$) заданной в упражнении случайной величины.

Добавлено спустя 20 минут 40 секунд:

В данном случае $ \mathsf E \xi = \lambda = 1/n$. Но, что неравенство Маркова может дать для выполнения упражнения непонятно.

[--mS--]

Прошу прощения за невнимательность при чтении двух предыдущих сообщений. Удалено.

[GAA]

Возвращаясь к Вашему, odys-31, решению. Изначально я его не понял. Когда записал свое решение, по-видимому, понял Вашу логику, и убедился в «эквивалентности» решений, однако, неравенство

odys-31 писал(а):

\lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |>\epsilon) < \lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |\geqslant1)

ложно.

Добавлено спустя 7 минут 37 секунд:

--mS--, сразу не понял решение odys-31, поэтому и привел решение. Я виноват, больше мешать не буду.

[odys-31]

GAA писал(а):

Возвращаясь к Вашему, odys-31, решению. Изначально я его не понял. Когда записал свое решение, по-видимому, понял Вашу логику, и убедился в «эквивалентности» решений, однако, неравенство

odys-31 писал(а):

\lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |>\epsilon) < \lim_{n\to\infty}\ P(|\xi_n\ |\geqslant1)

ложно.

Добавлено спустя 7 минут 37 секунд:

--mS--, сразу не понял решение odys-31, поэтому и привел решение. Я виноват, больше мешать не буду.

Я не совсем понял почему оно ложно? Может вы имеете ввиду что нужно было строго больше? по идеи подставляется \epsilon = 1 в данном случае.