Решетки: начинающий

[Romashka]

Здавствуйте.

Гредцер "Общая теория решеток". $1 задача 13 вкратце:

$P$ - у-множество,
$H$ - подмножество

Доказать, что если $ \forall H \exists \inf H$, то $P$ - решетка. Указание из книги. Для любых $a,b \in P$, пусть $H$ - множество всех верхних границ $\{a,b\}$. Доказать, что $\sup \{a,b\} = \inf H$.

Вопрос. А что, всегда есть множество всех верхних границ $\{a,b\}$? Например, $P = \{a,b,c\}$ порядок $\{a \le a, b \le b, c \le c, a \le b, a \le c\}$ Здесь $\forall H \exists \inf H$, но для $ \{a,c\} $ нет верхних границ.

Подсказка дана конечно, но не пойму - множество бесконечно?

Спасибо.

Добавлено спустя 1 час 16 минут 20 секунд:

Думаю

Здравствуйте. Думаю так.

Сказано "для любого множества", т.е. $\inf(\emptyset) = \sup P$.
Если $a \le b$ сравнимы, то $\sup \{a,b\} = b$, если нет, то существует по крайней мере $\sup P$.

$P$ - множество.

Верно?

[lofar]

Скажите, пожалуйста, что такое "y-множество"?

Догадался. Это "упорядоченное множество". Ваше решение верно.

[Romashka]

Задача

Доказать, что если $\inf H$существует для любого непустого подмножества $H$ ч.у. множества $P$, то в $P$ существует также $\sup(\emptyset)$

Небольшие размышления.

Определение решетки.
Ч.у. множество $L$ есть решетка, если $\sup H и \inf H$ существует для любого непустого конечного подмножества $H$ множества $L$.

Здесь надо обратить внимание "для любого непустого конечного подмножества". Существование $\inf H$ доказывается по индукции, т.е. рассматривается конечное подмножество.

Существование же $\inf H$ для бесконечного множества остается под вопросом. Рассмотрим следующие бесконечные множества:

1. $[1\ldots1]$
2. $(1\ldots1)$

Оба множества бесконечные линейноупорядоченные множества; для любого конечного(!) непустого(!) подмножества существует $\inf H$. В первом случае $\inf([1\ldots1]) = 1$, второе не имеет.

Вопрос! Доказуемо ли это ($\inf([1\ldots1]) = 1, inf((1\ldots1)) = $нету)?
Думаю нет, ведь надо рассматривать бесконечные подмножества $[1\ldots1] and (1\ldots1)$.

Стало быть, существаование $\inf H$ для бесконечного множества - допущение.

Из всего, я мог бы доказать задачу так.

$H = P \to \inf H = \inf P = \sup(\emptyset)$.

$\emptyset$ - пустое множество

Но, не пойму, зачем надо писать "непустого" (в задаче)?

[Jnrty]

Jnrty:

Romashka, обратите внимание на верх страницы. Под заголовком имеется следующий текст: "Для набора любых формул следует использовать...". Вы же сразу начинаете нарушать это требование.

В Вашем случае нужно, как минимум, учесть следующее:
1) вокруг каждой формулы нужно написать знаки доллара: $\forall H\exists\inf H$; если формула разбита на несколько строк, то необходим и тег [mаth]...[/mаth];
2) $\inf$ и $\sup$ кодируются как \inf и \sup;
3) фигурные скобки служат для группировки символов; если они (скобки) нужны в формуле, то кодируются как \{ и \};
4) многоточия кодируются как \ldots (внизу) или \cdots (по центру): $h\ldots h$ или $h\cdots h$;
5) пустое множество: \emptyset или \varnothing ($\emptyset$ или $\varnothing$).

Подробнее можно прочесть в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

До исправления переношу тему в "Карантин".

[Jnrty]

[mod="Jnrty"]Возвращаю.[/mod]

P.S. Не включайте в формулы обычный текст. Получается плохо. Внутри знаков доллара должна быть только формула, а все слова - снаружи.

[Romashka]

Задача 2.

Пусть алгебра $\langle A;\circ \rangle$ является полурешеткой. Определим бинарные отношения $\leqslant_\wedge$ и $\leqslant_\vee$ на $A$ следующим образом:

$a\leqslant_\wedge b \Leftrightarrow a = a\circ b$ and $a \leqslant_\vee b \Leftrightarrow b = a \circ b$

Доказать, что $\langle A;\leqslant_\wedge \rangle$ - ч.у. множество и как ч.у. множество является нижней полурешеткой, в которой $a\wedge b = a \circ b$; доказать также, что $\langle A;\leqslant_\vee\rangle$ - ч.у. множество и как ч.у. множество является верхней полурешеткой, в которой $a\vee b= a \circ b$. Проверить, что ч.у. множества $\langle A;\leqslant_\wedge\rangle$ и $\langle A;\leqslant_\vee\rangle$ двойственны друг другу.

Думаю.

$\langle A;\circ \rangle$ - полурешетка, значит идемпотентна, коммутативна, ассоциативна.

1 $a = a\circ a \Leftrightarrow a\leqslant_\wedge a$
2 $a\leqslant_\wedge b \Leftrightarrow a = a\circ b$ and $b\leqslant_\wedge a \Leftrightarrow b = b\circ a \Rightarrow a\circ b = b\circ a = a = b$, i.e. $a\leqslant_\wedge b$ and $b\leqslant_\wedge a \Rightarrow a = b$
3 $a \leqslant_\wedge b \Rightarrow a = a\circ b$ and $b\leqslant_\wedge c \Rightarrow b = b\circ c$, i.e. $a = a\circ b = a\circ (b\circ c) = (a\circ b)\circ c = a\circ c = a \Rightarrow a\leqslant_\wedge c$

$\langle A;\leqslant_\wedge\rangle$ - ч.у. множество.

$(a\wedge b)\wedge b = a\wedge (b \wedge b) = a \wedge b$, значит $a\wedge b \leqslant_\wedge b$
$(a\wedge b)\wedge a = a\wedge (a\wedge b) = (a\wedge a) \wedge b = a \wedge b$, значит $a \wedge b \leqslant_\wedge a$

Пусть $c \leqslant_\wedge a$ и $c\leqslant_\wedge b$, т.е. $c = c\wedge a$ и $c = c\wedge b$, далее
$c\wedge (a \wedge b) = (c\wedge a)\wedge b = c\wedge b = c$, т.е. $a\wedge b$ является наибольшим из всех $c$ для множества $\{a,b\}$, значит $\inf\{a,b\} = a\wedge b$

Далее

1. и 2. такие же.
3. $a\leqslant_\vee b \Rightarrow b = a\circ b$ and $b\leqslant_\vee c \Rightarrow c = b\circ c$, i.e. $c = b\circ c = (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c) = a\circ c = c \Rightarrow a\leqslant_\vee c$

$\langle A;\leqslant_\vee\rangle$ - ч.у. множество.

$\sup\{a,b\} = a\vee b$ - похожим образом.

Пусть $a\geqslant_\wedge b \Leftrightarrow b\leqslant_\wedge a$

1. $a\geqslant_\wedge a \Leftrightarrow a\leqslant_\wedge a$
2. $a\geqslant_\wedge b, b\geqslant_\wedge a \Leftrightarrow b\leqslant_\wedge a, a\leqslant_\wedge b \Leftrightarrow a=b$
3. $a\geqslant_\wedge b, b\geqslant_\wedge c \Leftrightarrow c\leqslant_\wedge b, b\leqslant_\wedge a \Rightarrow c\leqslant_\wedge a \Leftrightarrow a\geqslant_\wedge c$

$\langle A;\geqslant_\wedge\rangle$ - ч.у. множество

Далее

$e = a\wedge b = \inf\{a,b\}$
$e\leqslant_\wedge a, e\leqslant_\wedge b \Leftrightarrow e\geqslant_\wedge a, e\geqslant_\wedge b$
Допустим $e\geqslant_\wedge h\geqslant_\wedge a, e\geqslant_\wedge h\geqslant_\wedge b$ тогда $e\neq \inf\{a,b\}$ значит $e = \sup\{a,b\}$

$\langle A;\geqslant_\wedge\rangle$ - верхняя полурешетка.

$\geqslant_\wedge$ and $\leqslant_\vee$ совподают, т.е. $\leqslant_\wedge$ and $\leqslant_\vee$ двойственны.

Да?