Помогите с задачами по топологии

[HacTeHkA]

1. Как доказать гомеоморфность топологических пространств:
($a,$b)и $R, если $a,$b принадлежат $R. ($R- множество действительных чисел)

2.
Как проверить отображение f:$(X,\tau_1) \to (Y,\tau_2)$ на непрерывность:
X=$\mathbb{Z}$, \tau_1=\{\varnothing;X;U,$U\subseteq N$\}, Y=$\mathbb{R}$
\tau_2=\{\varnothing;Y;(-$(\infty)$,a),$a\in $\mathbb{R}$\},f(x)=|x|

[BVR]

1. Сначала докажите, что любые два интервала (a, b) и (c, d) гомеоморфны. Потом докажите, что $\tg{x}$ гомеоморфно отображает интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ на R.

Добавлено спустя 4 минуты 53 секунды:

Во втором непонятны обозначения. Там 0 или пустое?.

Добавлено спустя 49 минут 53 секунды:

2. Проверьте, будет ли открытым прообраз множества $(-\infty, 0.2)$
Это если в Вашем определении топологии пустое, а не 0.

[Профессор Снэйп]

HacTeHkA писал(а):

1. Как доказать гомеоморфность топологических пространств:
(a,b) и R, если a,b принадлежат R. (R - множество действительных чисел)

Если $b \leqslant a$, то пространства и не будут гомеоморфны Вероятно, автор задачи забыл упомянуть условие $a < b$.

Если же $a < b$, то функция

$$ f(x) = \tg\left(\frac{\pi(2x-a-b)}{2(b-a)}\right) $$

является гомеоморфизмом интервала $(a,b)$ на $\mathbb{R}$. Докажите это самостоятельно.

Добавлено спустя 3 минуты 55 секунд:

Во втором задании для начала запишите условие по человечески.

[Jnrty]

Jnrty:

HacTeHkA, заменять текст с формулами картинками не разрешается. Обратите внимание также на текст под заголовком наверху страницы: "Для набора любых формул следует использовать...". Как записывать формулы, объясняется в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

Переношу тему в "Карантин" до исправления.

[Jnrty]

Jnrty:

Возвращаю. Но в первой задаче формулы тоже окружите знаками доллара.

P.S. А что такое $X_1$ во второй задаче?

[HacTeHkA]

извиняюсь) поторапилась) там не $X_1 а$Y
и там не ноль, а пустое множество(( просто ненашла знака пустого множества...

[Taras]

BVR уже решил задачу.

[Someone]

И Профессор Снэйп тоже поучаствовал.

HacTeHkA в сообщении #172490 писал(а):

ненашла знака пустого множества

На выбор: \emptyset или \varnothing (соответственно $\emptyset$ или $\varnothing$). Но иногда пустое множество и нулём обозначают. А иногда даже $\Lambda$.