Условный минимум

[Falex]

Ну вот получилось 2 корня.Кстати не такие,которые Вы ше сказали:
http://slil.ru/22703224/2068683988/1.GIF
и какой из них взять.

[Falex]

Правильный это ответ или нет?

[Dan_Te]

Где у вас ответ-то?
Вы получили несколько точек. Это кандидаты, если минимум находится на границе области, то в одной из этих точек. Теперь проверьте, в какой именно точке значение самое маленькое. И еще проверьте потом, что минимум не достигается внутри области.

[Falex]

Вы мне скажите,если в постановке задачи сказано,что решить задачу на условный минимум,то в ответе должна быть одна точка (та у которой значение функции минимальное) или надо выписать все локальные минимумы.Вот в чем пмоя сейчас проблема.

[Dan_Te]

Я точно не помню терминологию, но мне кажется, что "условный" - это абсолютный с наложением условий (в вашем случае - в замкнутом круге).

[Falex]

Во смотрите есть какие постановки задач:
1)найти все точки локального безусловного минимума классическим методом
2)Решить задачу на условный минимум классическим методом
3)Найти все точки локального условного минимума методом Лагранжа.
4)Решить задачу на условный минимум методом Лагранжа.

Я так понимаю,что в 1-ой и 3-ей задачи нужно выписать в ответ все точки минимума,а во 2-ой и 4-ой одну единственную точку,значение функции которой минимально.

[Dan_Te]

Ну у вас, судя по вашему первому сообщению, заддача номер 4, то есть, от вас нужна одна точка.

Если бы у вас была задача номер 3, то надо было бы, видимо, проверить все потенциальные точки и определить, являются ли они точками локального условного минимума.

[Falex]

ДА.ДА.
Но у меня в постановке задачи есть условие в виде неравенства.Мне тогда надо вводить новую переменную и добалять к левой части,чтобы неравенство превратилось в равенство.
Тогда в системе должно быть больше уравнений.ТОгда какий уравнения должны ещё добавиться?

[Falex]

А вот смотрите.Решаю задачу классическим методом на поиск локальных безусловных точек у таких функций:
f1(x,y) = (x^2+2\cdot y^2+1)^2-4\cdot y^2 \\ f2(x,y) = (x+y+3)^2-x+2\cdot y
Как обычно составляется система из 2-х уравнение (функция дифференцируется по x и y и приравнивается к нулю).И
ищутся точки,подозрительные ны экстремум.
Но для первой точки получаются 2 комплексные точки,а для второй функции система вообще несовместна.
Тогда каким может быть ответ?
Кстати,если посмотреть на поверхность,то минимум вроде как есть??

[Dan_Te]

По вашей первой задаче:
Вы ищете глобальный условный минимум в круге. Указанная функция непрерывна в круге, круг - это компакт. По теореме Вейерштрасса, функция достигает минимума в круге. Либо она достигает его внутри круга, либо она достигает его на границе. То же самое и с локальными минимумами: они могут быть внутри круга и на границе.
Метод Лагранжа дает вам возможность искать минимумы на границе круга.
А минимумы внутри круга вы можете найти классическим методом, приравнивая частные производные по переменным к нулю. То есть, вы как бы ищете безусловные экстремумы, но потом отбираете из них только те, что лежат внутри круга.
Таким образом, на выходе вы получаете несколько "кандидатов" на границе круга и внутри круга и дальше работаете с ними (определяете, кто из них локальный экстремум, кто глобальный экстремум).

Для вашей конкретной функции можно видеть, что внутри круга экстремумов нет. Что неудивительно, об этом можно сразу догадаться по виду функции. То есть, у данной функции все экстремумы в круге расположены на границе круга.

*************************************
Дальше: $f_1$, очевидно, имеет глобальный (безусловный) минимум, поскольку
$f_1\to+\infty\quad\mbox{при}\quad x,y\to\infty$,
Если в $f_1$ раскрыть скобки, то сразу видно, что минимум достигается в начале координат. Так что ищите у себя ошибки или напишите сюда те системы уравнений, которые вы получили.

Для функции $f_2$ несовместность системы говорит о том, что функция не имеет даже ни одного локального минимума. Сделав замены переменных, можно увидеть, что поверхность, задаваемая этой функцией, есть цилиндрическая поверхность над параболой. Нет у нее экстремумов, ничего не поделаешь.

[Falex]

Dan_Te -спасибо.