Условный минимум

[Falex]

Подскажите как решить такую задачу на условный минимум методом Лагранжа
x_1^2+x_2 -> min
при ограничении:
x_1^2+x_2^2<=1

[Falex]

Вообще кто в курсе как решить такую задачу?

[Аурелиано Буэндиа]

Falex писал(а):

Вообще кто в курсе как решить такую задачу?

У вас задача на нахождение минимума функции в области (в круге). Можно решить (причем элементарно) в рамках обычного матана

и ответ $x_1=0, x_2=-1$

[Falex]

Да.Но может быть и ограничение вида:
x_1+x_2<=1

Мне надо просто понять суть метода Лагранжа!
А если получается 2 точки минимума,то на до выбрать ту,у которой значение исходной функции наименьшее или нет (условие задачи: найти условный минимум!!)

[rashid]

по методу лагранжа надо построит функцию лагранжа по такому алгоритму если даны сама функция f(x_1,x_2,...x_n) и дополнительные условия \varphi_1(x_1,x_2,...x_n),\varphi_2(x_1,x_2,...x_n),...\varphi_n(x_1,x_2,...x_n) тогда функция лагранжа выглядит так L=f(x_1,x_2,...x_n)+\lambda_1*\varphi_1(x_1,x_2,...x_n)+\lambda_2*\varphi_2(x_1,x_2,...x_n)+...+\lambda_n*\varphi_n(x_1,x_2,...x_n) а после этого знаете что делать дальше

[Falex]

Вот моя функция Лагранжа:
L=x_1^2+x_2+\lambda_1\cdot (x_1^2+x_2^2-1)
После этого надо будет составить систему уравнений.Для моего случая так:
dL/dx = 0 \\ dL /dy = 0 \\ dL /d\lambda_1 = 0
И решить её.Но у меня не выходит конкретного ответа.Вот у Вас получается?

[Руст]

Falex писал(а):

Вот моя функция Лагранжа:
L=x_1^2+x_2+\lambda_1\cdot (x_1^2+x_2^2-1),\lambda\le 0.
После этого надо будет составить систему уравнений.Для моего случая так:
dL/dx_1 = 0 \\ dL /dx_2 = 0 \\ dL /d\lambda = 0 \ or \ \lambda=0
И решить её.Но у меня не выходит конкретного ответа.Вот у Вас получается?

Исправил неточности.

[Falex]

Руст - а почему именно так.
Какой тогда будет ответ ?

[Руст]

Дифференцируем по переменным, так как переменная лямда должен принимать только неположительные значения при поиске минимума, то или производная равно нулю или принимает граничное значение (производная по нему в этом случае не обязательно равно 0). Решение тривиальное, что видно уже с первого взгляда и оно уже приведено другим участником.

[Falex]

А почему \lambda должно быть меньше нуля.Это обязательное требование в теории?
А если получается 2 точки,то надо выбрать ту,у которой значение функции минимальное или нет?

[Руст]

Иначе минимум функции Лагранжа не совпадёт с минимумом вашей функции.

[Falex]

А это для любой функции,для которой находи минимум должно выполняться такой услови?

[Руст]

Да, ограничения на дополнительные переменные возникают, когда как у вас они задаются неравенствами.

[Falex]

А Вы покажите полную систему,которую необходимо решить,а я решу и сравню с ответом.

[Руст]

Надеюсь ещё не разучились дифференцировать. Систему уравнений вашу я подправил, осталось вычислить частные производные и подставить, получится:
$2x_1(1+\lambda )=0, 1+2\lambda x_2=0, x_1^2+x_2^2=1 \ or \ \lambda =0$