Теория групп (строговозрастающие непрерывные функции)

[Brukvalub]

Порядок элемента равен той его наименьшей натуральной степени, после возведения в которую получается единица группы. Если такой степени нет, то считают, что соответствующий элемент имеет бесконечный порядок.

[G_Ray]

Спасибо. Отсюда ещё один вопрос.
Имеется группа $GL_2(R)$ и элемент в ней.
Кстати, что это за группа, можете рассказать?

Я возвел элемент в 12 степень и получил единичный. Значит порядок 12?

В группе $S_6$ единичный будет $(1)(2)(3)(4)(5)(6)$?

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #170352 писал(а):

Я возвел элемент в 12 степень и получил единичный. Значит порядок 12?

Не обязательно. Вы не проверили, что меньшие положительные степени элемента этим свойством не обладают.

G_Ray в сообщении #170352 писал(а):

В группе $S_6$ единичный будет $(1)(2)(3)(4)(5)(6)$?

Да.

G_Ray в сообщении #170352 писал(а):

Имеется группа $GL_2(R)$ и элемент в ней.
Кстати, что это за группа, можете рассказать?

Группа всех невырожденных матриц размера 2Х2 с вещественными элементами.

[mkot]

G_Ray писал(а):

Имеется группа $GL_2(R)$ и элемент в ней.
Кстати, что это за группа, можете рассказать?

Это полная линейная группа -- множество невырожденных матриц размера $2 \times 2$
над полем $\mathbb{R}$ относительно операции умножения матриц.
$\mathrm{GL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \,|\, \det{A} \neq 0\}$.

[G_Ray]

Цитата:

Не обязательно. Вы не проверили, что меньшие положительные степени элемента этим свойством не обладают.

Ну я возводил начиная с 2 и только в 12 степени получил единичную матрицу.

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #170369 писал(а):

Ну я возводил начиная с 2 и только в 12 степени получил единичную матрицу.

Тогда порядок элемента действительно равен 12.

[G_Ray]

Спасибо ещё раз. Тогда следующий вопрос.
Есть элемент из все той же $GL_2(R)$ . (Пусть будет a)
Как найти фактор-группу $<a>/<a^2>$

И второй вопрос. Только не смейтесь. Как перемножать подстановки? (или перестановки, я все путаюсь). Короче такие штуки: $(1,2,3,4,5)(5,6)$ умножить на себя?

[Brukvalub]

Перестановка - это отображение множества 1 , 2 , .... n на себя. Умножение перестановок - это композиция таких отображений.

G_Ray в сообщении #170390 писал(а):

Есть элемент из все той же $GL_2(R)$ . (Пусть будет a)
Как найти фактор-группу $<a>/<a^2>$

Многое зависит от порядка элемента а, универсальный ответ дать трудно.

G_Ray в сообщении #170390 писал(а):

Как перемножать подстановки? (или перестановки, я все путаюсь).

Перестановка - это отображение множества 1 , 2 , .... n на себя. Умножение перестановок - это композиция таких отображений.

[G_Ray]

Т.е. $(1,2,3,4,5)(5,6)$ $(1,2,3,4,5)(5,6)$ $= (1,3,6)(2,4,5)$ так? Я верно понял?

Цитата:

Многое зависит от порядка элемента а, универсальный ответ дать трудно.

Порядок элемента равен 12. Тот самый элемент, порядок которого я и считал.

Добавлено спустя 33 минуты 22 секунды:

И ещё вопрос. Как найти порядок подгруппы $<a^2>$?
Элемент а все тот же

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #170412 писал(а):

так? Я верно понял?

Верно.

G_Ray в сообщении #170412 писал(а):

И ещё вопрос. Как найти порядок подгруппы $<a^2>$?

Это циклическая группа 6-го порядка с образующей a^2Теперь и про фактор-группу ответить несложно ответить - она изоморфна $<a^6>$

[G_Ray]

Цитата:

Это циклическая группа 6-го порядка с образующей $a^2$

Вот так вот по порядку элемента a можно определить сразу порядок подгруппы $<a^2>$ ?
И зная порядок a, можно сразу же найти фактор группу $<a>/<a^2>$?
Можно поинтересоваться как?

[Taras]

ну, да: мы ж тогда знаем в какой минимальной степени образующий елемент даст 1-это и есть порядок подгруппы.
А если знать, что факторгруппа циклической группы циклическая и мы ее порядок знаем...

[G_Ray]

1-ое понял.
А вот с факторгруппой не очень. Че-то туплю я

[Taras]

Вы знаете как узнать порядок факторгруппы если знать порядок группы которую факторизируют и порядок нормальной подгруппы по которой факторизируют?

[G_Ray]

$|<a>|/|<a^2>|$, так?
Т.к. $<a>$ циклическая её мощность равна 12?
$|<a^2>|$=6
Или не то?