Я почему спросил -- тут получается такой же вывод, но по другим соображениям.
Привожу полное решение(оно подобно Руст'а + добавки):
Т.Дарбу (о которой упомянул Someone) дает сведение, что ( в нашем случае)
![$[0,1]\subset f'([0,1])$ $[0,1]\subset f'([0,1])$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/b/e1b257d306f3acaf7e4634fe7947924982.png)
всегда(т.е. как минимум). Для получения различных точек

, необходимо еще существование точки

.
Для чего? Так мы с уверенностью найдем
- точки из области значений производной функции.
Ищем такую точку. Допустим противное:
![$\forall x \in [0,1]: f'(x) \leq 1$ $\forall x \in [0,1]: f'(x) \leq 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/4/b548b3ce36de82f3eae9b1f1b14fecdd82.png)
.
Рассмотрим функцию

;

, т.е.

- монотонная.
Но

и

, откуда заключаем, что

тождественно.
Или:

, и это -- функция которая удовлетворяет всем условиям и для которой задача очевидна. Итого: беря во внимание противоречие, получим, что функции, удовлетворяющие условию задачи и различны от линейной функции, будут обладать требуемым свойством.
И тоже сходу вывод: область значений производной функции
![$f (f:[0,1]\to[0,1];f(0)=0, f(1)=1$ $f (f:[0,1]\to[0,1];f(0)=0, f(1)=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/c/9ecaf10cc64bd906eab8d0c08f83373682.png)
),различной от линейной будет интервал
![$[0,a]$ $[0,a]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/0/500488aebe892d6abe04d7ff2fb3ab6382.png)
, где
Надеюсь, нигде ничего не напутал.