2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 задача/элементарный матан
Сообщение19.03.2006, 18:48 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Попалась такая вот задачка: про функцию известно следующее:
$f:[0,1]\rightarrow[0,1], $ f дифференцируема на [0,1], и f(0)=0, f(1)=1.
Доказать, что $\exists $различные $a, b$ такие что $f'(a)f'(b)=1$.Я решал так: рассмотрим
g(x)=f(f(x)), очевидно $g(0)=0, g(1)=1, g'(x)=f'(f(x))f'(x)$. По теореме Лагранжа $g(1)-g(0)=g'(\xi)=1, $то есть если $a=\xi, b=f(\xi),$ то получаем что надо. Одна проблема если $\xi = f(\xi)$ , может будут другие идеи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.03.2006, 19:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если имеется две точки a и b, где производная равна 1 то доказывать ничего. Иначе если производная непрерывно то значения производной содержат некоторый интервал (с,d), такой, что c<1<d. взяв значение t, такое, что t и 1/t принадлежат интервалу (c,d) найдём разные точки a (df/dx=t) и b (df/dx=1/t) с соответствующим свойством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.03.2006, 19:51 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Из дифференцируемости не следует непрерывность производной, или я вас неправильно понял?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.03.2006, 22:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вы правильно поняли. Я и рассматривал случай с непрерывной производной для второго случая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.03.2006, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
А можно, раз уж пошла такая пьянка, пример функции, дифференцируемой всюду на отрезке, и производная которой не непрерывна?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
незванный гость писал(а):
:evil:
А можно, раз уж пошла такая пьянка, пример функции, дифференцируемой всюду на отрезке, и производная которой не непрерывна?

Не непрерывна всюду на отрезке, наверное ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Разумееется. Я чего-то не могу такой пример придумать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
незванный гость писал(а):
:evil:
А можно, раз уж пошла такая пьянка, пример функции, дифференцируемой всюду на отрезке, и производная которой не непрерывна?


Пусть $\{r_n:n\in\mathbb N\}$ - последовательность, взаимно однозначно перечисляющая все рациональные числа. Обозначим $M_n=\max\{|\sqrt[3]{x-r_n}|:-n\leqslant x\leqslant n\}$. Функция $$f(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}\frac{\sqrt[3]{x-r_n}}{n^2M_n}$$ на всей числовой оси $\mathbb R$ непрерывна, так как ряд в правой части равномерно сходится на каждом отрезке $[a,b]$, и (строго) возрастает; множество значений функции $f(x)$ совпадает с $\mathbb R$. Из всего этого следует, что существует обратная функция $g(x)$, которая также непрерывна и возрастает на всей числовой оси $\mathbb R$.
Для функции $f(x)$ во всех точках существует предел $$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0$$ (может быть, $+\infty$, например, как в рациональных точках), поэтому, по теореме о производной обратной функции, обобщённой для случая таких бесконечных производных, обратная функция имеет всюду конечную производную $$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$.
Легко видеть, что $g'(x)$ на всюду плотном множестве $\{f(r_n):n\in\mathbb N\}$ равна $0$, и в то же время не может быть равна $0$ во всех точках какого-нибудь интервала $(a,b)$, так как $g(x)$ возрастает на всём $\mathbb R$. Поэтому $g'(x)$ не может быть непрерывной ни на каком интервале.

Можно привести и совсем простой пример:
$$h(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$
Тогда
$$h'(x)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x}\text{ при }x\ne 0\text{,}\\0\text{ при }x=0\text{.}\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 09:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На самом деле можно доказать не прибегая к непрерывности производной.
Рассмотрим $0<x<y<=1$ и находим точки $0<z(x)<x<t(x,y)<y$:
$f^{'}(z)=\frac{f(x)}{x},f^{'}(t)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$.
Если производная в 0 равна 1 доказывать ничего, найдётся ещё одна точка в интервале $(0,1)$ с единичной производной.
Для произведения имеем:
$f^{'}(z)f^{'}(t)=\frac{f(x)}{x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=s(x,y)$.
Справа непрерывная (даже дифференцируемая во внутренних точках) функция зависящая от x и y, соответственно принимает все значения в пределах, ограниченных концевыми значениями. Имеем $s(0,y)=f^{'}(0)\frac{f(y)}{y},s(y,y)=f^{'}(y)\frac\{f(y)}{y}$.
Это позволяет найти значения $a=z(x)$ и $b=t(x,y)$ с требуемыми свойствами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 20:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Руст писал(а):
На самом деле можно доказать не прибегая к непрерывности производной.
Рассмотрим 0<x<y<=1 и находим точки 0<z(x)<x<t(x,y)<y:
$f^{'}(z)=\frac{f(x)}{x},f^{'}(t)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$.
Если производная в 0 равна 1 доказывать ничего, найдётся ещё одна точка в интервале (0,1) с единичной производной.
Для произведения имеем:
$f^{'}(z)f^{'}(t)=\frac{f(x)}{x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=s(x,y)$.
Справа непрерывная (даже дифференцируемая во внутренних точках) функция зависящая от x и y, соответственно принимает все значения в пределах, ограниченных концевыми значениями. Имеем $s(0,y)=f^{'}(0)\frac{f(y)}{y},s(y,y)=f^{'}(y)\frac{f(y)}{y}$.
Это позволяет найти значения a=z(x) и b=t(x,y) с требуемыми свойствами.

На самом деле таким образом можно доказать нечто большее, а именно производная функции, даже если она разрывная обладает одним свойством непрерывных функций, а именно выпуклые множества отображают в выпуклые множества, т.е. если интервал отображается в некоторое множество значений, то принимаются и любые промежуточные значения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Руст писал(а):
На самом деле таким образом можно доказать нечто большее, а именно производная функции, даже если она разрывная обладает одним свойством непрерывных функций, а именно выпуклые множества отображают в выпуклые множества, т.е. если интервал отображается в некоторое множество значений, то принимаются и любые промежуточные значения.


Да, это теорема Дарбу (Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I, "Наука", Москва, 1969, пункт 110).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.03.2006, 08:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Теорему Дарбу о симплектическом базисе хорошо помню, смутно помню, что и в анализе была теорема Дарбу (никогда бы не вспомнил без Someone, что это за теорема).
С теоремой Дарбу и первое мое доказательство срабатывает, так как я использовал фактический не непрерывность производной, а то что следует из теоремы Дарбу.
На самом деле легко завершить и доказательство автора. Если указанные автором точки совпали, то эта точка удовлетворяет свойству f(x)=x. Следовательно существует точка a в интервале (0,x) и b в интервале (x,1), где производная равна 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.03.2006, 11:52 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Спасибо всем участникам дискуссии, задача оказалась интереснее чем можно было предположить изначально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2006, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Руст писал(а):
На самом деле легко завершить и доказательство автора. Если указанные автором точки совпали, то эта точка удовлетворяет свойству f(x)=x.

Может показать, как Вы это получили. У меня есть решение, но в нем есть некий исскуственный момент, который мне не очень нравится (рассматриваем функцию $g(x)=x-f(x)$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group