задача/элементарный матан

[Руст]

Если эти точки совпали, то a=b=x=f(x) и f'(x)=1. То хотя бы один из интервалов (0,х) или (х,1) не пустой. Соответственно внутри этих интервалов найдется ещё одна точка y, что f'(y)=1. Соответственно f'(x)f'(y)=1 и х не равно у.

[Genrih]

Руст писал(а):

Если эти точки совпали, то a=b=x=f(x) и f'(x)=1. То хотя бы один из интервалов (0,х) или (х,1) не пустой. Соответственно внутри этих интервалов найдется ещё одна точка y, что f'(y)=1. Соответственно f'(x)f'(y)=1 и х не равно у.

Что значит не пустой?

[Руст]

х мог совпасть с 0 или с 1. Поэтому, написал, что найдётся хотя бы один интервал и у в нём отличный от х.

[Genrih]

Цитата:

найдётся хотя бы один интервал и у в нём отличный от х.

Откуда все-таки следует, что $f'(y)$ будет равен единице ? (для меня ето как-то не очевидно).

[Genrih]

Я почему спросил -- тут получается такой же вывод, но по другим соображениям.
Привожу полное решение(оно подобно Руст'а + добавки):

Т.Дарбу (о которой упомянул Someone) дает сведение, что ( в нашем случае) $[0,1]\subset f'([0,1])$ всегда(т.е. как минимум). Для получения различных точек $a, b$, необходимо еще существование точки $x_0: f'(x_0)>1$.
Для чего? Так мы с уверенностью найдем $t<1<\frac{1}{t}$ - точки из области значений производной функции.
Ищем такую точку. Допустим противное: $\forall x \in [0,1]: f'(x) \leq 1$.
Рассмотрим функцию $g(x)=x-f(x)$; $g'(x)=1-f'(x)\geq 0$, т.е. $g(x)$ - монотонная.
Но $g(0)=0$ и $g(1)=0$, откуда заключаем, что $g(x)=const=0$ тождественно.
Или: $f(x)=x$, и это -- функция которая удовлетворяет всем условиям и для которой задача очевидна. Итого: беря во внимание противоречие, получим, что функции, удовлетворяющие условию задачи и различны от линейной функции, будут обладать требуемым свойством.

И тоже сходу вывод: область значений производной функции $f (f:[0,1]\to[0,1];f(0)=0, f(1)=1$),различной от линейной будет интервал $[0,a]$, где $a>1$

Надеюсь, нигде ничего не напутал.