Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

Yadryara · 21.07.2025, 10:30

DemISdx в сообщении #1694909 писал(а):

Не думаю, что это поможет.

И тем не менее, даже если ТС всё равно не поймёт, надо говорить хотя бы для того чтоб люди не велись.

Опять останавливал счёт, зато досчитал константы ещё и для 15-к и убедился, что закономерность действительно есть:

Код:

3-ki   0 -- 73#   (797252637053699535486769 / 153049917926365288059104) ^ (1/9) = 1.201
5-ki   0 -- 73#   (1099004350734744435322   /    255687953076142576224) ^ (1/8) = 1.200
7-ki   0 -- 73#   (2312806291345020660      /       549795372894831428) ^ (1/8) = 1.197
9-ki   0 -- 73#   (2787256757579401         /          827207642650615) ^ (1/7) = 1.190
11-ki  0 -- 73#   (3043533286925            /            1275322220223) ^ (1/5) = 1.190
13-ki  0 -- 73#   (8481970704               /               3400021042) ^ (1/5) = 1.201
15-ki  0 -- 73#   (29079904                 /                 11876754) ^ (1/5) = 1.196

Таким образом, средний кэф лёгкости для этого интервала — 1.196.

И очень похоже, что он таким и будет. То есть (1.19 -1.20) для любых симметричных кортежей нечётной длины.

При увеличении интервала этот кэф будет уменьшаться. Теперь планирую написать программы чтобы показать как этим свойством пользоваться.

Yadryara · 21.07.2025, 17:36

Ну вот примерная иллюстрация метода на том же периоде. Если, допустим, надо искать 21-ку, то для того чтобы узнать наибольшие матожидания (прогнозы) берём уже известное, посчитанное для многоформульного паттерна 21-324-2 (по константам до C11 включительно) — 1.003. Средняя лёгкость для него тоже известна — 0.1514.

Код:

№    Паттерн    Прогноз по HL1, штук    Норм.              Средняя
sta = 10^10     C0 -- C11   0 -- 73#    формул            лёгкость

21-324-2                       1.003     6.575              0.1514
21-336
21-348
21-360                                                  
21-372-2                       1.461    19.744              0.0740
21-384
21-396-2                       0.907    17.535              0.0517
21-408-2                       0.929    21.504              0.0432
21-420-762                     1.121    31.046              0.0361
21-432-943                     1.371    45.401              0.0302
21-444-266                     0.980    38.742              0.0253

Три диаметра подряд пропустил — нету достаточно многоформульных паттернов, чтобы конкурировать с лидером. А вот для 372-го диаметра находится 19-формульный паттерн.

И вот теперь уже нам пригодится тот самый переходной кэф лёкости — 1.196. Поскольку сделать надо четыре шага подряд, делю среднюю лёгкость на $1.196^4$ . Затем на $1.196^2$ . Ну и дальше подходящие многоформульные паттерны уже идут подряд. Заполняю самый правый столбец, затем умножаю построчно на количество формул и получаю искомые прогнозы.

Здесь пока не всё учтено, например для 432-го диаметра есть ещё два 40+ формульных паттерна. Ну и другие диаметры попозже посчитаю.

Yadryara · 23.07.2025, 09:32

Пока отвлёкся от этой предсказательной темы, упомяну лишь, что паттернов 21-480 найдено аж более 10 тысяч и среди них встретился многоформульный 71-кратный. И наоборот, два сильно малоформульных встретились, меньше предыдущего минимума. Так что пришлось пересчитывать количество нормализованных формул.

Да, помощь в основном счёте пришла c севера :-)

Теперь считаем вдвоём и дело сразу пошло веселее. Хотел запостить новые центральные 15-ки, когда всего в проверяемом диапазоне их станет ровно 200, но прозевал — их уже 202. Вот 22 новых:

(15-228-2)

1362050429065723771753
1539430297953065589619
8113753714580951876833
8869571712775872864313
12355932863110096089223
17532377331156151483699
17587734506334862774129
27014602313132640652279
29498689456456396444493
33692568849331783585573
34958335486574983554619
51463693720910179454293
65956240192644699301783
76248694331529281890553
80513933620075823471983
87781658770090184765413
92877744931017406311499
100335883180584572739443
103642195793253402669763
104853572321565796350169
111377900585198840267053
113715186504385940428333

Среди них две маленьких, которые попали в $0-59\#$ Таким образом, их здесь теперь уже 9:

Код:

2079914861571286679
3665619319531504883
214946236533755076289
271541128585758431779
356824342193987437163
944273532072632171243
1006882292528806742273
1362050429065723771753
1539430297953065589619

Некрасиво. По-прежнему ни одной малюсенькой 20-значной 15-ки. Хотя и 19-значные и 21-значные есть. Раньше разрыв был ещё больше — ни одной 21-значной не было.

Не планирую постить новые раньше чем наберётся 250 штук. Разве что редкая найдётся — какая-нибудь центральная 15-ка продолжится до более длинной симметричной ну или малюсенькую обнаружим.

Yadryara · 25.07.2025, 06:58

Вернулся к предыдущему исследованию.

Взяв за основу паттерн 19-600 [0, 36, 60, 90, 120, 180, 210, 216, 270, 300, 330, 384, 390, 420, 480, 510, 540, 564, 600] в качестве обладателя минимального количества формул, посчитал максимумы по количеству нормализованных формул для каждого диаметра не превышающего 600:

Код:

№   Паттерн        Max Формул
   19-252             3.740
   19-264             4.444
   19-300            11.221
   19-312            11.556
   19-324            14.367
   19-336            12.908
   19-348            15.167
   19-360            43.221
   19-372            54.857
  19-384            24.137
  19-396            42.449
  19-408            59.140
  19-420            69.859
  19-432            76.272
  19-444            77.823
  19-456            69.483
  19-468            63.354
  19-480           110.769
  19-492           113.989         8.254
  19-504           113.131
  19-516           171.683
  19-528           125.104
  19-540           160.457
  19-552           206.521
  19-564           161.711
  19-576           170.596
  19-588           228.800        24.242
  19-600           208.593        60.529

Справа указано количество нормализованных формул для всех 19-к найденных в проекте SPT, то есть самых-самых маленьких 19-к.

Для контроля. Может кто-то захочет перепроверить. Вот этот паттерн 19-588 пока что рекордсмен:

[0, 18, 60, 108, 120, 174, 204, 228, 258, 294, 330, 360, 384, 414, 468, 480, 528, 570, 588]

Для него имеется примерно в 228 раз больше формул чем для паттерна выше.

Дальше надо будет считать средние количества нормализованных формул. Надеюсь, они будут ниже чем у 2-х из 3-х найденных маленьких 19-к.

Yadryara · 26.07.2025, 02:58

Ну да, так и есть. Вот количества паттернов 19-к и их средняя формульность:

Код:

Паттерн   Всего   Сред. формул
19-252        1          3.740
19-264        2          4.178
19-300       11          6.339
19-312       10          6.502
19-324       27          7.308
19-336      116          5.054
19-348       34          6.098
19-360      226          7.980
19-372      360         11.695
19-384      190          7.628
19-396      655          8.987
19-408      621         12.493
19-420     4302         12.303
19-432     3549         13.372
19-444     3401         12.693
19-456     4435         14.226
19-468     4272         13.895
19-480    18700         15.160
19-492    12798         14.167
19-504    19624         13.997
19-516    20625         17.264
19-528    24300         16.857
19-540    61067         18.108
19-552    55180         21.651
19-564    50565         18.678
19-576    73998         18.352
19-588    98872         20.419
19-600   227311         21.486

Ещё можно самые крошечные 17-ки посмотреть. Их найдено 40 штук в проектах TBEG и SPT. 15 и 25 соответственно. Диаметры — от 312 до 948 включительно.

Боюсь, аналогичный обсчёт для них займёт очень долгое время.

Вывод, в принципе предсказуемый. Если искать 21-ки по паттернам, то делать это надо по самым многоформульным с учётом лёгкости поиска, шаг которой зависит от интервала.

Да, забыл сказать: формулы считались для периода 73#. Именно их относительное (нормализованное) количество будет одинаковым и для бо́льших периодов и для ближайших меньших.

Dmitriy40 · 26.07.2025, 10:19

Yadryara в сообщении #1695320 писал(а):

Для него имеется примерно в 228 раз больше формул чем для паттерна выше.

Yadryara в сообщении #1695420 писал(а):

Да, забыл сказать: формулы считались для периода 73#. Именно их относительное (нормализованное) количество будет одинаковым и для бо́льших периодов и для ближайших меньших.

А по идее надо считать до 1/6 (для симметричных паттернов) максимального диаметра, иначе можно и ошибиться:

Код:

? s=1; forprime(p=2,100, s*=#setminus([1..p-1], Set(-[0, 36, 60, 90, 120, 180, 210, 216, 270, 300, 330, 384, 390, 420, 480, 510, 540, 564, 600]%p))); s
%1 = 4772484872575269602328576000
? s=1; forprime(p=2,100, s*=#setminus([1..p-1], Set(-[0, 18, 60, 108, 120, 174, 204, 228, 258, 294, 330, 360, 384, 414, 468, 480, 528, 570, 588]%p))); s
%2 = 1056720521463117759689785344000
? %2/%1
%3 = 221.41935483870967741935483870967741936

Видите, получилось меньше 228 раз.

Yadryara · 26.07.2025, 11:21

Да, спасибо. Может и надо было эту неаккуратность допустить, чтобы хоть кто-то в теме появился :-)

Перескоки происходят вот здесь:

Код:

47#   218.400
53#   218.400
59#   218.400
61#   228.800
67#   228.800
71#   228.800
73#   228.800
79#   221.419
83#   221.419
89#   221.419
97#   221.419
101#  221.419
103#  221.419
107#  221.419
109#  221.419
113#  221.419
127#  221.419

Yadryara · 27.07.2025, 19:21

Всё-таки важнее считать актуальные интервалы. Для 47# и 53#, например. Вот данные по 39 самым маленьким 17-кам, найденным в проектах TBEG и SPT:

Код:

43 младших диаметра для 0-53#

Паттерн    Всего     Среднее         Max    Найдено   Ср. найд.
17-240         3       9.872      13.846
17-252         9       7.787      14.438
17-264        20       8.289      20.192
17-276         6       7.844      16.744
17-288        13       8.429      13.327
17-300       107       9.962      31.154
17-312        96      10.399      41.860          1       7.383
17-324       140      11.097      31.811
17-336       464       9.721      28.856
17-348       201      10.820      29.822
17-360       861      13.270      75.797          2      19.874 *
17-372      1008      16.371      80.769
17-384       704      12.068      41.462
17-396      1668      14.411      81.627          4      19.995 *
17-408      1450      19.068      95.000          2      47.683 *
17-420      8743      17.848      95.913
17-432      5775      17.958     107.692          2      11.237
17-444      5731      17.992     128.250          1      21.418 *
17-456      7539      19.598     119.290
17-468      7217      19.046      98.414
17-480     25528      20.427     134.201          3      28.793 *
17-492     17318      18.721     157.500          4      24.302 *
17-504     26939      18.622     170.667          1      13.569
17-516     24440      22.698     212.485          4      51.204 *
17-528     29094      22.584     162.462
17-540     69356      22.958     165.680          1      13.565
17-552     55337      27.083     218.077          2      39.272 *
17-564     54247      22.906     194.872          3      26.107 *
17-576     69252      24.002     179.038          1      21.642
17-588     97357      24.996     268.402
17-600    198313      26.312     236.250          1      18.462
17-612    122332      31.864     247.704          1      51.692 *
17-624    118861      30.542     303.262
17-636    164695      28.309     247.337          1      29.840 *
17-648    161927      25.796     264.000
17-660    516966      29.502     327.385          3      56.425 *
17-672    443497      28.413     291.598
17-684    336400      31.202     296.899
17-696    321470      32.671     341.169
17-708    358600      27.765     249.880
17-720    951170      31.304     352.568
17-732    652213      31.723     327.195          1      23.814
17-744    644357      34.794     306.049          1      48.968 *
                                                 __
                                                 39

Звёздочками отметил паттерны, для которых средняя формульность выше средней для всех паттернов данного диаметра.

Итого: формульность ниже средней только у 8 паттернов из 39.

Ну и один паттерн не сравнивал, у него диаметр жутко большой, паттернов для этого диаметра небось намного больше миллиона, долго обсчитывать.

Это паттерн 17-948 с формульностью 71.819. Судя по динамике, средняя формульность для этого диаметра 40-50, так что он тоже выше среднего.

-- 27.07.2025, 19:25 --

В качестве паттерна с минимальной формульностью брал

17-624 [0, 60, 132, 204, 240, 252, 294, 300, 312, 324, 330, 372, 384, 420, 492, 564, 624]

Yadryara · 28.07.2025, 15:40

Yadryara в сообщении #1695154 писал(а):

Разве что редкая найдётся — какая-нибудь центральная 15-ка продолжится до более длинной симметричной ну или малюсенькую обнаружим.

У нас Большая Радость: ещё одна центральная 17-ка нашлась, наименьшая для нашего триумвирата. Вот она красуется на 7-м месте:

Код:

17-240-1

   1.     1006882292528806742267 Jarek     Min
   2.     3954328349097827424397 Jarek
   3.     4896552110116770789773 Jarek
   4.     6751407944109046348063 Jarek
   5.     7768326730875185894807 Jarek
   6.    19252814175273852997757 Jarek
   7.    71421740092615021993817 Demis
   8.   154787380396512840656507 Dmitriy
   9.   187749702383119068641837 Anton
  10.   901985248981556228168767 Dmitriy
  11.  4246610002636339828954837 Anton
  12.  9425346484752129657862223 Dmitriy   19-252
  13.  9701757886114895320879547 Dmitriy
  14. 14451615724941305041645447 Demis

Насколько понимаю, Jarek проверил около 10 младших периодов по 59# на предмет этих 17-к. Так что все новые закономерно больше чем у него.

Yadryara · 28.07.2025, 19:53

Yadryara в сообщении #1695154 писал(а):

Не планирую постить новые раньше чем наберётся 250 штук.

Ну вот уже перескочили прям. Сейчас — 278 штук. Теперича подожду до 300. Расклад по интервалам такой:

Код:

                 0-53#   0-59#   0-61#
Посчитано          51%     25%     25%
Прогноз по HL1       2      49    1133
Найдено              2      13     278

Yadryara · 29.07.2025, 05:45

Рост соотношений к центру подтверждается и для новых обсчитываемых групп, 26-й и 27-й:

Код:

15-228-2     0 — 61# 

  Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношения
   в группе      цепочек        на юнит             между
                  тысячи                         группами
G19   100 %           98           2242            1.1138
G20   100 %         2645           2025            1.1174
G21   100 %        23366           1815            1.1190
G22   100 %        91643           1622            1
G23
G24
G25
G26    49 %        59849           1016            1.1240
G27    70 %        32901            908            1.1229
G28   100 %        11231            813            1.1220
G29   100 %         1566            731            1.1206
G30   100 %           73            656            1.1198
                 _______
                 223 млн

Yadryara · 29.07.2025, 15:47

Yadryara в сообщении #1695687 писал(а):

Теперича подожду до 300.

Ну вот уже 301 центральная 15-ка набралась в исследуемом диапазоне. Пока помещается, приведу их все. Здесь 2 штуки найдено в TBEG, 6 штук нашёл Jarek, 200 штук впс и 96 штук DemISdx. З штуки совпали с ранее найденными. Итого $2+6+200+96-3=301$ . Как уже отметил, одна из новых найденных оказалась внутри центральной 17-ки, а всего здесь таких 17-к 7 штук.

(15-228-2 0-61# 301)

2079914861571286679
3665619319531504883
214946236533755076289
255322373039027810609
271541128585758431779
329512940040252288413
356824342193987437163
944273532072632171243
1006882292528806742273
1238032979525485036573
1300418837044598106383
1362050429065723771753
1473520540378581214199
1539430297953065589619
2002538973045217640713
2022711875770842846529
2162149531729604295103
2225037046903483907473
2321104522630063134343
2539192360991245986119
2619820297764034190219
2865889199912908889659
2938616605475118382193
3018155680699249138273
3536266327242777212023
3730861010539166369959
3731183113236698329043
3954328349097827424403
4010322518824084606823
4365911271914917104059
4385038454541770260783
4669587620264188878089
4896552110116770789779
5424443345599274902999
5550244178896033210273
5563684279615769106739
6137356084057875005723
6369031448193054935519
6666523563022808374723
6751407944109046348069
6822640902781117403669
6961394541011197172279
7420138605579994740539
7768326730875185894813
8113753714580951876833
8140616600819764641413
8232485038811356957313
8247840611942752240513
8749161465060085980289
8790344504647482496553
8869571712775872864313
9072850423046408037719
9100228069582396220699
9134738951228447613149
9204422712907346070239
9369566116899129925723
9750634398553127404873
10326968803949363609983
10477936345766316842963
10671796931507693781739
10922903209508846255533
11054682772123468774129
11303999667139928672603
11562084795586986305023
11644034428493619141929
12317996571933803496839
12355932863110096089223
12419328750104774994043
12480848738857754155279
12744508017243603506299
12967362495788256980803
13706603122281229064129
14832445430292682412599
15636034351630168471829
16257917584261857368243
16592192850803483898209
17532377331156151483699
17587734506334862774129
17716330748916274931003
17816578122462059149889
18097692523946146749863
18140656623524706591413
18164396263690092225203
18666592479923632892873
18742586057174230251379
18826403258369198671859
19138427715111031577083
19252814175273852997763
19281158201070594238349
19536294443804410516183
19832606831753483622233
20897856447156043589173
21287941491290623223299
21426089952025093895393
21488607476073832073659
22544235579330598703663
23868792350514616905493
24556642668231947322989
24715153027336908055313
24859382344782684063913
25591696777127757465869
25656457439290027079563
26082913722886576565843
26913993896984416720723
27014602313132640652279
27297597458437704698239
27479373083803560368843
28937711354125474715039
29112926410075621397509
29325565674424877111479
29498689456456396444493
29579059173365490432583
29674090145515624849133
29747011186256286268439
29841535697746871136263
30118867447705296880453
30456631287913526185583
30718149799825764081199
30851792637019107009089
31009930868332327847329
31112136818534131085819
31167395346004527024809
31715036252267904940343
32003776680599002444999
32077439942809143102313
32552490401884659580753
33201296457328241776759
33692568849331783585573
34106328260995613527283
34166808184761843016519
34435550398206620652823
34692395756264131050713
34835558850415981958239
34958335486574983554619
35779927094707159273303
37367256014233652901619
38099366441650179970243
39216955475536658705279
39231058986762458911643
39361383755151849280283
39842748138202357199399
40130072216277437073773
40531790348980239064589
40884492365329448531789
41161834670623552771979
41571851018171428160039
43045215971510673149623
44761079941336435616333
44983394322579412629323
46024418479657645667473
46148041301356859995223
46605568368689126923219
46724210684839944936773
47154869430452973042533
47304080109955215170563
47656422430740358024469
47703377223411247518013
48045646242150924871729
50139893628558495595513
51463693720910179454293
52103936620358711203949
52264855622295011930173
52932704704998072460339
53870485813614404074079
55387608544709590254499
55794188530828267043749
56439200077626277081109
57719793361407278115239
58001376030690224648609
58699110641240596200353
59420623555803628802623
60110614777068449833633
60346140802589814061723
60710306679979448415863
62188637790255951955073
62693811150438409437043
63107301144955083654863
63226570023969085287779
63759453481474995309899
63782109938986060927699
64075516656116723928263
64885882944883244143993
65956240192644699301783
66028664267510812801873
66704517831534384497789
67573133790751305436813
67848565105721445324673
68315802602152980474979
68549949469554679770869
68590100635528913186579
69560459768252700493079
70489226782888786959179
70606494541667514405809
71148528607852127772433
71291041182733040288999
71421740092615021993823
71843954888597214127183
71886191622880324824359
72266328684828779534713
72463231679233607956423
72592768973659775736443
73747183773847416132679
73766760615158048158099
74045741561841469990663
74414461590007232037283
74760856231911720860929
74937800462352801917623
75276528825104016990673
75638264185684530139643
75670899735871057281343
76248694331529281890553
77167667313721912547713
78011968236472724757983
78177137860469750814259
79184175194383366551383
79735173731457125341139
79930081278115417078123
80513933620075823471983
81563006083829052512563
82182488754449879761513
82271491566840819212363
83184839632177306358729
83275153540084379902253
83900475555876188865749
84033052786999568221649
84387934001117621785003
84822854688108109313119
84949079966606930488639
85369375842841727813269
86285141783490686710613
86346732966101717929213
87067612907202519977779
87281038039521657164513
87357466859957431076773
87781658770090184765413
88033512426909882348349
88034157597305900444843
88517765275434034287973
88554781276461429069233
89360921185318855012319
91185245883302581564933
92146706881627679466733
92339090063243634904973
92366725594191458390359
92877744931017406311499
93481186216018797526163
93739605702138425379443
94556056426114059781229
94658622985792197668429
94759159040877217452659
95656602661369457036723
95857958190527339354773
96881461860437484320029
97412412419565768558713
97570972106536058625889
97621863230890879951009
98526220101384954128629
98826853191397831203383
99493156211464035650569
99640983528107766668863
99669093522863952747053
99973063481119784850119
100111954792639831080433
100283138926302462946363
100335883180584572739443
100650851799425508064709
100985323593521985253469
101868109552359238746883
102093924044096143334569
102110199709522918633813
103642195793253402669763
103727995863068306608103
104853572321565796350169
106161181043449521118523
106716682191731618526353
106873384318882314032579
107154484623408480407983
107159125337765622371083
107547131613691625179549
107634907446494781681553
108005058102095804880169
108201961535370666827543
108250608001833493634663
108367570277345722046383
108841383765631407824873
109302211203987234428543
109414309195407294698999
111127758316689619731059
111220039058734980013319
111377900585198840267053
111883054644950649386159
111901217678221559516153
112110792462260879407499
112863712827167421979253
113375329169252945374673
113715186504385940428333
114180755793664174725049
115305596346681043106483
115593942281689004809223
115772734261787152058903
116980545753429433155019

Yadryara · 01.08.2025, 12:32

Ура! Малюсенькая таки нашлась: 14261113584839996099. Не просто 20-значная, а настолько малюсенькая, что если бы проект SPT не был прерван, она была бы в нём найдена. А так честь первооткрывателя принадлежит лично Демису. Ну и конечно Дмитрию, как автору программы.

Вот десятка пока наименьших центральных 15-к:

2079914861571286679
3665619319531504883
14261113584839996099
214946236533755076289
255322373039027810609
271541128585758431779
329512940040252288413
356824342193987437163
391362485189091190153
679156995120492529019

Другая стата будет позже.

DemISdx · 01.08.2025, 13:10

Yadryara в сообщении #1696030 писал(а):

Ура! Малюсенькая таки нашлась: 14261113584839996099. Не просто 20-значная, а настолько малюсенькая, что если бы проект SPT не был прерван, она была бы в нём найдена. А так честь первооткрывателя принадлежит лично Демису. Ну и конечно Дмитрию, как автору программы.

Отличная новость.
Спасибо!

Интересно, может-ли найтись еще меньшее значение?

Научный форум dxdy

Симметричные кортежи из последовательных простых чисел