Помогите с интегралами....через 72 часа зачёт...

[Reebok]

Доброго времени суток!

У меня огромная просьба, мне в понедельнику нужно вычислить и "положить преподавателю на стол" два интеграла, двумя способами, вот они

..http://rapidshare.com/files/175163515/Help.JPG.html

Просто у меня в ПН 4 зачёта, а времени совсем мало, очень расчитываю на вашу поддержку!

[Brukvalub]

Reebok в сообщении #169285 писал(а):

Просто у меня в ПН 4 зачёта, а времени совсем мало, очень расчитываю на вашу поддержку

Следует читать: "я весь семестр пробездельничал, даже сейчас мне лень набрать интегралы в форуме, поэтому вы должны скачать их на стороннем ресурсе и решить за меня, чтобы я потом обманул своего преподавателя, выдав ваши знания за свои и вы стали соучастником этого преступления, в УК называемого "подлог" (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%BB%D0%BE%D0%B3 )"

[Reebok]

$$\int_{L}^{} x dx + y dy + z dz$$

L - Линия пересечения поверхностей:
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 2y,\\ z = 3, \end{array} \right. $
Пробегаемая в положительном направлении.

[GAA]

Неправильно сочли. Ссылки на внешние файлы в качестве условий не допускаются [см. указания модераторов, например, в темах: Помогите решить интеграл (PAV), И снова линейная алгебра... (нг) Метод модифицированных…(maxal)].
Как набирать формулы см. в темах Первые шаги в наборе формул и Краткий ФАК по тегу [math]. Для редактирования своего сообщения нажмите на кнопку , которая находится справа от заголовка сообщения.

[Reebok]

Поправил, помогите хоть с чём-нибудь..

[Brukvalub]

Параметризуйте кривую, воспользовавшись, например, сдвинутой цилиндрической системой координат и вычисляйте интеграл, подставляя в него параметризацию.

[ewert]

Reebok писал(а):

$$\int_{L}^{} x dx + y dy + z dz$$

L - Линия пересечения поверхностей:
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 2y,\\ z = 3, \end{array} \right. $
Пробегаемая в положительном направлении.

Дарю: интеграл равен $\left.\left({x^2\over2}+{y^2\over2}+{z^2\over2}\right)\right|_L$, притом по замкнутому контуру, а раз так -- то адназначна ноль, независимо от самого контура и даже от направления обхода.

[K@roXa]

интеграл от 0 до 1 1/2ln[(2x*x)/(x+x*x)]
заранее благодарен

[ewert]

Первый (и необходимый) шаг -- написать интеграл так, чтобы его можно было прочитать. Ну а потом просто проинтегрировать по частям, чтоб убить логарифм.

[Reebok]

Может вы всё-таки мне поможите?
Кину на тел. или wmr/wmz, к завтрому надо..или ко вторнику на крайняк..

[sko1111]

с параметризацией уже подсказали, там получается $r=2\operatorname{sin}t$. т.к. sin -- периодическая функция, то можно ограничить $t \in [0;2\pi]$. ищи переход к цилиндрической системе координат в лекциях, подставляй выражения для $x$ и $y$ в исходный интеграл. $z=3$, так что $dz = 0$ и этот член можно не учитывать вовсе.
получается $\int\limits_0^{2\pi}r^2\operatorname{sin}2tdt$, который, очевидно, нуль. хотя бы в силу того, что на $[0;2\pi]$ у синуса полный период.

формула Стокса
$\oint\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz = \int\int\limits_s\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$
проблемы? при $P=x,Q=y,R=z$ там вообще очевидный нуль.

далее.
$\int\int\limits_S(x\overline k,\overline n)$
здесь $\overline n = \{\operatorname{cos}\alpha,\operatorname{cos}\beta,\operatorname{cos}\gamma\}$ -- внешняя нормаль к S. а $(P,Q,R)$ это компоненты твого вектора $(0,0,x) = 0\overline i+0\overline j+x\overline k$.

напрямую будешь брать
$\int\int\limits_S x\operatorname{cos}\gamma dS$
параметризуешь по $z$ от $-2$ до $-1$ и по $\gamma$ от $0$ до $2\pi$.

По формуле Михаила Васильевича Остроградского получаешь нолик.

[Brukvalub]

А добрый ewert - так даже потенциал нашел!

[Reebok]

sko1111
Первый понял, спасибо, а вот со вторым что-то непонятное..что нужно с вектором n делать и куда подставлять его? (

[ewert]

Brukvalub писал(а):

А добрый ewert - так даже потенциал нашел!

Между прочим, категорически не согласен. Я не только не находил потенциала, но -- даже и не пытался этого делать. (Ну что ж тут поделаешь, если он вдруг нечаянно нашёлся, ну несчастье такое выпало).

Совсем не в этом пафос, а пафос вот в чём, и это уже действительно принципиально.

Дело в том, что для вычисления любого криволинейного интеграла (и любого типа) следует свести его к обычному определённому -- так, чтобы под интегралом осталась только одна какая-либо (неважно, какая) переменная. За счёт уравнений кривой, естественно.

Но временами бывает так, что некоторые слагаемые под знаком интеграла изначально содержат только одну переменную. В таких случаях следует ловить момент и немедленно считать соответствующее слагаемое, не заморачиваясь никакими подстановками. И тем самым резко упрощать задачу.

Ну а в том примере все три слагаемых были именно такого типа, из-за чего задача моментально упростилась до невозможности.