Тривиальны ли выражения для многочлена?

[maravan]

В одном из своих исследований мне нужно было разделить многочлен на мнимую и действительную части после раскрытия скобок.
Наткнулся на интересные выражения для них через определитель матрицы размерности больше на 1 чем степень многочлена, например для многочлена 3 степени, пусть $s=\sigma+i t, \sigma \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}, $

$f(s)=(s-(a_1+i b_1))(s-(a_2+i b_2))(s-(a_3+i b_3))=\lambda + i \gamma, $

$ \lambda=\begin{vmatrix} i (t-b_1) & -(a_2-\sigma) & -(a_3-\sigma) & 1 \\ a_1-\sigma & i (t-b_2) & -(a_3-\sigma) & 1 \\ a_1-\sigma & a_2-\sigma & i (t-b_3) & 1 \\ a_1-\sigma & a_2-\sigma & a_3-\sigma & 0 \end{vmatrix}, $

$ \gamma=\begin{vmatrix} i (\sigma-a_1) & -(t-b_2) & -(t-b_3) & 1 \\ t-b_1 & i (\sigma-a_2) & -(t-b_3) & 1 \\ t-b_1 & t-b_2 & i (\sigma-a_3) & 1 \\ t-b_1 & t-b_2 & t-b_3 & 0 \end{vmatrix}. $

Аналогичные выражения можно записать для многочлена любой степени.

Кто-то встречал подобные выражения и насколько они тривиальны?

[maravan]

Доказал, что для любого приведённого многочлена степени $ n $ можно выполнить разделение на вещественную и мнимую часть через определители, скидываю сюда короткое доказательство.

Матричное представление многочленов с комплексными корнями и разложение на вещественную/мнимую части

Введение
Рассмотрим приведённый многочлен степени n с комплексными корнями:
P(s) = \prod_{k=1}^n (s - \lambda_k), \quad \lambda_k = a_k + i b_k, \quad a_k, b_k \in \mathbb{R}.
Положим s = \sigma + i t, \sigma, t \in \mathbb{R}. Цель работы — доказать:
1. Представление P(s) как определителя (n+1)\times(n+1)-матрицы
2. Разложение определителя на компоненты \operatorname{Re}P(s) и i\operatorname{Im}P(s)
3. Зависимость характера компонент от чётности n

Обоснование размера (n+1)\times(n+1)
Для произвольных \{\lambda_k\} \subset \mathbb{C} матрица n\times n с вещественными элементами, линейными по s, не подходит. Контрпример при n=2:
Пусть P(s) = (s-i)(s-2i) = s^2 - 3is - 2. Предположим, существует матрица:
M(s) = \begin{pmatrix} \alpha_1s + \beta_1 & \alpha_2s + \beta_2 \\ \alpha_3s + \beta_3 & \alpha_4s + \beta_4 \end{pmatrix}, \quad \alpha_i, \beta_i \in \mathbb{R}.
Тогда \det M(s) имеет вещественные коэффициенты, но P(s) — нет (коэффициент -3i \notin \mathbb{R}).

Теорема о минимальной размерности
Минимальный размер матрицы для представления произвольного P(s) — (n+1)\times(n+1). Обоснование:
1. Требуется выполнить условия:
- \det M(\lambda_k) = 0
- \deg \det M = n
- Старший коэффициент = 1
2. При s = \lambda_k в матрице (n+1)\times(n+1) возникает нулевой столбец
3. Структурно необходимо n условий для корней + 1 для старшего коэффициента

Конструкция матрицы
Определим матрицу M^{(n)} размера (n+1)\times(n+1):
M^{(n)} = \begin{pmatrix} D_1 & A_{12} & \cdots & A_{1n} & 1 \\ A_{21} & D_2 & \cdots & A_{2n} & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & D_n & 1 \\ B_1 & B_2 & \cdots & B_n & 1 \end{pmatrix}
где:
- D_k = i(t - b_k) (диагональ)
- A_{kj} = \begin{cases} \sigma - a_j & k < j \\ -(\sigma - a_j) & k > j \end{cases} (внедиагональные)
- B_k = -(\sigma - a_k) (последняя строка)

Теорема 1 (Основная)
\det M^{(n)} = P(s) = \prod_{k=1}^n (s - \lambda_k)

Доказательство
Этап 1: Корни многочлена
При s = \lambda_k = a_k + ib_k:
- D_k = i(b_k - b_k) = 0
- B_k = -(a_k - a_k) = 0
- k-й столбец нулевой \Rightarrow \det M^{(n)}(\lambda_k) = 0

Этап 2: Степень и старший коэффициент
Элементы линейны по \sigma, t \Rightarrow \det M^{(n)} — многочлен степени \leq n+1. Старшие члены:
- По t: \prod_{k=1}^n D_k \cdot 1 = i^n \prod_{k=1}^n (t - b_k)
- По \sigma: коэффициент (-1)^n (из последней строки)
Совпадает с P(s) = \sigma^n + \cdots + i^n t^n + \cdots

Этап 3: Тождество многочленов
\det M^{(n)} и P(s):
- Имеют одинаковые корни \{\lambda_k\}
- Одинаковые степени (n)
- Совпадают старшие коэффициенты
Следовательно, тождественно равны.

Теорема 2 (Разложение)
\det M^{(n)} = \det M_1^{(n)} + \det M_2^{(n)}
где M_1^{(n)}, M_2^{(n)} получены заменой последней строки:
- M_1^{(n)}: [B_1 \cdots B_n \ 0]
- M_2^{(n)}: [0 \cdots 0 \ 1]

При этом:
1. n нечётно:
\det M_1^{(n)} = \operatorname{Re} P(s), \det M_2^{(n)} = i \operatorname{Im} P(s)
2. n чётно:
\det M_1^{(n)} = i \operatorname{Im} P(s), \det M_2^{(n)} = \operatorname{Re} P(s)

Доказательство
Линейность определителя:
\det M^{(n)} = \det \begin{pmatrix} \text{Первые } n \text{ строк} \\ U \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} \text{Первые } n \text{ строк} \\ V \end{pmatrix}
где U = [B_1 \cdots B_n \ 0], V = [0 \cdots 0 \ 1].

Характер компонент:
- \det M_1^{(n)} = \sum_{k=1}^n (-1)^{n+1+k} B_k \det(\widetilde{M}_k)
- \det M_2^{(n)} = (-1)^{2(n+1)} \det A^{(n)} = \det A^{(n)}
где A^{(n)} — подматрица первых n строк и столбцов.

Свойства миноров:
- В \det(\widetilde{M}_k) (размер (n-1)\times(n-1)):
-- Диагональные элементы: i(t-b_j)
-- Число множителей i: n-1
- В \det A^{(n)}: число множителей i: n

Анализ чётности:
1. n нечётно:
- n-1 чётно \Rightarrow \det(\widetilde{M}_k) веществен
- B_k вещественны \Rightarrow \det M_1^{(n)} веществен
- n нечётно \Rightarrow \det A^{(n)} = i \cdot (\text{вещ.})
- Итог: \det M_1^{(n)} + \det M_2^{(n)} = \operatorname{Re}P + i\operatorname{Im}P

2. n чётно:
- n-1 нечётно \Rightarrow \det(\widetilde{M}_k) мним
- n чётно \Rightarrow \det A^{(n)} веществен
- Итог: \det M_1^{(n)} + \det M_2^{(n)} = i\operatorname{Im}P + \operatorname{Re}P

Пример для n=3
Исходная матрица:
M^{(3)} = \begin{pmatrix} i(t-b_1) & \sigma-a_2 & \sigma-a_3 & 1 \\ -(\sigma-a_1) & i(t-b_2) & \sigma-a_3 & 1 \\ -(\sigma-a_1) & -(\sigma-a_2) & i(t-b_3) & 1 \\ -(\sigma-a_1) & -(\sigma-a_2) & -(\sigma-a_3) & 1 \end{pmatrix}

Разложение:
\det M^{(3)} = \det \underbrace{\begin{pmatrix} i(t-b_1) & \sigma-a_2 & \sigma-a_3 & 1 \\ -(\sigma-a_1) & i(t-b_2) & \sigma-a_3 & 1 \\ -(\sigma-a_1) & -(\sigma-a_2) & i(t-b_3) & 1 \\ -(\sigma-a_1) & -(\sigma-a_2) & -(\sigma-a_3) & 0 \end{pmatrix}}_{M_1^{(3)}} + \det \underbrace{\begin{pmatrix} i(t-b_1) & \sigma-a_2 & \sigma-a_3 & 1 \\ -(\sigma-a_1) & i(t-b_2) & \sigma-a_3 & 1 \\ -(\sigma-a_1) & -(\sigma-a_2) & i(t-b_3) & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{M_2^{(3)}}

Так как n=3 нечётно:
- \det M_1^{(3)} = \operatorname{Re} P(s)
- \det M_2^{(3)} = i \operatorname{Im} P(s)

Заключение
1. Установлено минимальное представление (n+1)\times(n+1) для произвольных комплексных корней
2. Получено разложение определителя на вещественную/мнимую части
3. Результаты могут быть применимы в:
- Численных методах (вычисления в \mathbb{R})
- Анализе устойчивости
- Построение линий уровня