Не могу доказать существование предела.........

[BlackCubeIsI]

Есть последовательность $\{x_n\}$
$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$
$x_1 > 0$, числа $a>0, n$ натуральные
В задании нужно сначала доказать существование предела, а потом его посчитать
Я залипла на доказательстве существования... Использовать можно только знания из теории пределов.
Мои рассуждения:
Первое что приходит в голову это признак сходимости по Коши, но $x_{n+1} - x_n=\frac{1}{2}(\frac{a}{x_n} - x_n)$ не понятно куда стремится
Однако, если:
$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n(1+\frac{a}{x_{n}^2})$
1. $x_{n}^2\leqslant a$, то скобка больше 2, т.е. что-то больше 2 делить на 2 это что-то больше 1, т.е. $x_{n+1}\geqslant x_n$
2. $x_{n}^2>a$, то скобка меньше 2, т.е. что-то меньшее 2 делить на 2 это что-то меньше 1, т.е. $x_{n+1}<x_n$
Получается, что если $x_{n}^2$ становится меньше a, то $x_n$ монотонно возрастает до $\sqrt{a}$
Если $x_{n}^2 $ становится больше a, то $x_n$ монотонно убывает до $\sqrt{a}$
Но тут нет гарантии, что около $\sqrt{a}$ последовательность не будет совершать скачки на всё большие и большие расстояния

Поскольку $a>0$, то $\frac{a}{x_n}$ имеет тот же знак, что $x_n$ т.е. если $x_1>0$, то и все последующие $x_n>0$
Значит, снизу последовательность точно ограничена нулем.
Чтобы доказать сходимость нужно доказать существование ограничения сверху, а это у меня как раз сделать не выходит как бы я не пыталась
Помогите, пожалуйста.

[Sender]

Сложно читать ваши формулы... Как бы в карантине не оказаться. Например, вашу первую формулу лучше записать как

$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$

Сравните: $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$
Чему равно минимальное значение выражения $\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$ как функции от $x$ при $a>0,x>0$. При каком значении $x$ оно достигается?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Отдельные обозначения тоже нужно набирать как формулы.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[slavav]

Покажите что если $\sqrt a < x_n$ то $\sqrt a < x_{n+1} < x_n$.

[BlackCubeIsI]

slavav в сообщении #1689207 писал(а):

Покажите что если $\sqrt a < x_n$ то $\sqrt a < x_{n+1} < x_n$.

У меня как раз проблема с тем, чтобы показать, что $\sqrt a < x_{n+1}$
Я написала, что если $x_n>\sqrt{a}$, то $x_{n+1} < x_n$ и последовательность монотонно убывает, пока какой-то член не опустится ниже $\sqrt{a}$
А дальше тупик у меня....

-- 06.06.2025, 14:23 --

Sender в сообщении #1689134 писал(а):

Чему равно минимальное значение выражения $\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$ как функции от $x$ при $a>0,x>0$. При каком значении $x$ оно достигается?

Кажется, что $\sqrt{a}$ (и минимум выражения и значение при котором достигается), если прибегнуть к производным, но производными тут пользоваться нельзя

[slavav]

Используйте неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

[BlackCubeIsI]

slavav в сообщении #1689222 писал(а):

Используйте неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Вау, спасибо! Дошло
$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})>=\sqrt{x_n*\frac{a}{x_n}}=\sqrt{a}$ (не зависит от $x_n$ кстати)
И даже если $x_1<\sqrt{a}$, то $x_2$ уже будет больше $\sqrt{a}$ и дальше последовательность будет просто монотонно убывать до $\sqrt{a}$, а потом (если хоть один член станет равным $\sqrt{a}$) все члены станут $\sqrt{a}$

Монотонно убывает, ограничена снизу = есть предел)))

[slavav]

Поздравляю!

BlackCubeIsI в сообщении #1689226 писал(а):

если хоть один член станет равным $\sqrt{a}$

Вы сами выше доказали что равенство невозможно.

Ещё одно замечание: вы доказали что предел существует. Но вообще говоря не доказали что он равен именно $\sqrt{a}$. Требуется сделать ещё один шаг.

[tolstopuz]

BlackCubeIsI в сообщении #1689226 писал(а):

а потом (если хоть один член станет равным $\sqrt{a}$) все члены станут $\sqrt{a}$

$x_{n+1}-\sqrt a=\frac12\left(x_n+\frac a{x_n}-2\sqrt a\right)=\frac{(x_n-\sqrt a)^2}{2x_n}$

Так что никогда не станет. Разве что если сразу $x_1=\sqrt a$.

[B@R5uk]

tolstopuz в сообщении #1689262 писал(а):

$x_{n+1}-\sqrt a=\frac12\left(x_n+\frac a{x_n}-2\sqrt a\right)=\frac{(x_n-\sqrt a)^2}{2x_n}$

Если теперь сделать замену

$$y_n=\frac{x_n}{\sqrt{a}}$$

то получим

$$y_{n+1}-1=\left(1-\frac{1}{y_n}\right)\frac{y_n-1}{2}=\frac{(y_n-1)^2}{2y_n}$$

И становится сразу видно, что пока приближение далеко от ответа, то оно стремится к нему как минимум экспоненциально (двойка в знаменателе), а когда приближение подошло к ответу достаточно близко, число значащих цифр как минимум удваивается с каждой итерацией (квадрат в числителе). Демонстрация всей мощи метода Ньютона в одной формуле. Хотя, конечно, не надо забывать, что метод Ньютона, что называется, близорукий, у него не все начальные приближения сходятся к ответу. И надо ещё отдать честь Герону, который придумал эту формулу за долго до Ньютона.

[BlackCubeIsI]

slavav в сообщении #1689242 писал(а):

Поздравляю!

BlackCubeIsI в сообщении #1689226 писал(а):

если хоть один член станет равным $\sqrt{a}$

Вы сами выше доказали что равенство невозможно.

Ещё одно замечание: вы доказали что предел существует. Но вообще говоря не доказали что он равен именно $\sqrt{a}$. Требуется сделать ещё один шаг.

А, ну да, действительно
$x_{n+1}$ может стать равным $\sqrt{a}$ только если $x_n$ равен $\sqrt{a}$
Т.е. только при $x_1$=$\sqrt{a}$

Да, требуется ещё один шаг
Перейдём к lim в $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$
Было доказано существование $lim(x_n)=A$
$A=\frac{1}{2}(A+\frac{a}{A})$
$2A^2=A^2+a$
$A^2=a$
$A=\sqrt{a}$

[drzewo]

Мне было интересно появится ли в этой ветке картинка, делающая все объяснения очевидными, если не излишними. Не появилась.

[Combat Zone]

Всем тоже было интересно.

[dsge]

А разве можно на 1-м курсе доказывать существование пределов с помощью диаграмм Ламерея?