Отношение эквивалентности

[drzewo]

Я посмотрел сейчас еще пару текстов, там тоже отношение эквивалентности может не быть определенным на всем $X$.

[dgwuqtj]

Xo4y3HaTb
А что это за $f$? Вам надо просто построить разбиение множества $X'$ для произвольного отношения эквивалентности $R$, не обязательно получающегося из функции. К тому же странно, что $f$ действует в $X$, которое вообще ни при чём.

(Оффтоп)

Xo4y3HaTb в сообщении #1688954 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как правильно писать условия прям под знаками объединения и пересечения? Чтоб не было фигурных скобок.

Используйте \bigcup_{x \in X} и \bigcap_{x \in X}.

[B@R5uk]

Xo4y3HaTb в сообщении #1688954 писал(а):

Чтоб не было фигурных скобок.

Для этого используется тэг \limits. Вот здесь примеры (быстрый доступ по ссылке "FAQ по тегу [ math ]" слева от формы набора сообщений).
Код: \bigcap\limits_{x\in X}^{}f^{-1}(x). Результат:

$$\bigcap\limits_{x\in X}^{}f^{-1}(x)$$

[Xo4y3HaTb]

Я понимаю, что мне нужно разбить мн-во на непересекающиеся классы эквивалентных элементов. У меня никак не получалось представить эти классы, кроме как через слои. Но, чтоб задать слой, нужно задать отображение. Плюс эта задача пункт d упражнения 2, в котором даётся определение слоя. Логично предположить, что я должен его использовать. У меня не отношение эквивалентности получается из функции, а функция строится для произвольного отношения эквивалентности. По крайней мере была такая задумка. Т.е. изначально ввожу произвольное отношение эквивалентности $R\subset X^2$, а затем уже определяю отображение $f:X'\to X$ как такое, что для любых двух элементов $x_1,x_2\in X'$ если $x_1Rx_2\Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$
Эта запись у меня выглядит таким образом: Пусть $(f: X'\to X)\wedge (\forall x_1,x_2\in X' x_1Rx_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2))$. Тогда у меня получается построено отображение, слои которого есть классы непересекающихся эквивалентных элементов произвольного отношения эквивалентности. Функцию отображать можно в $X$ или в $X'$. Это не принципиально. Главное, чтобы элементов в отображаемом мн-ве было не меньше чем классов в $X'$.

(Оффтоп)

B@R5uk, dgwuqtj Спасибо! Попробую

[mihaild]

drzewo в сообщении #1688955 писал(а):

где отношение эквивалентности не определено на всем $X$?

Да везде. Поскольку нам в начале сказано всего лишь что $R \subseteq X \times X$, а не что $R$ - отношение эквивалентности на $X$.

Xo4y3HaTb в сообщении #1688972 писал(а):

Т.е. изначально ввожу произвольное отношение эквивалентности $R\subset X^2$, а затем уже определяю отображение $f:X'\to X$ как такое, что для любых двух элементов $x_1,x_2\in X'$ если $x_1Rx_2\Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$

Такое отображение, вообще говоря, существовать не обязано. Собственно утверждение о том, что оно всегда существует - это аксиома выбора.

Если уж очень хочется отображение - рассмотрите $g: X' \to 2^{X'}$, где каждый элемент отображается в множество ему эквивалентных.

[dgwuqtj]

Xo4y3HaTb в сообщении #1688972 писал(а):

Логично предположить, что я должен его использовать.

Я думаю, что этот пункт попал в упражнение про слои просто потому что больше некуда, а отдельное упражнение Зоричу писать было лень.

[drzewo]

mihaild в сообщении #1688974 писал(а):

Да везде. Поскольку нам в начале сказано всего лишь что $R \subseteq X \times X$, а не что $R$ - отношение эквивалентности на $X$.

drzewo в сообщении #1688960 писал(а):

Я посмотрел сейчас еще пару текстов, там тоже отношение эквивалентности может не быть определенным на всем $X$.

странно...

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1688974 писал(а):

Такое отображение, вообще говоря, существовать не обязано. Собственно утверждение о том, что оно всегда существует - это аксиома выбора.

Эти два предложения не противоречат друг другу? Как может быть, что отображение существовать не обязано и оно всегда существует? Полагаю, если Вы мне предлагаете использовать другое отображение $g$ значит, что существует такое отношение эквивалентности$R$, когда моё отображение $f$ задать невозможно, верно? Не пойму, что не так с $f$.

[dgwuqtj]

Xo4y3HaTb в сообщении #1688995 писал(а):

Не пойму, что не так с $f$.

С ним не так то, что вы не доказываете его существование. В ZFC это сделать можно, но нетривиально.

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1688995 писал(а):

Эти два предложения не противоречат друг другу? Как может быть, что отображение существовать не обязано и оно всегда существует?

В смысле "в отсутствии аксиомы выбора существовать не обязано" (я считаю хорошим умолчанием что-то вроде ZF, а аксиому выбора упоминать явно).

[Xo4y3HaTb]

Правильно ли понимаю, что когда речь заходит о мн-ве, то автоматически появляется одна из аксиоматик ZF или ZFC. Причём я сам решаю какая аксиоматика задана. Если я говорю, что задана аксиоматика ZF, то я должен доказать существование отображения $f$ используя аксиомы ZF. Если же я говорю, что использую ZFC, то могу просто без док-ва сослаться на аксиому выбора?

[dgwuqtj]

Нет, у Зорича используется конкретно ZFC. И в любом случае доказывать существование $f$ нужно, используя хоть аксиомы в явном виде, хоть наивную теорию множеств. Как вам аксиома выбора поможет?

[mihaild]

mihaild в сообщении #1688974 писал(а):

Собственно утверждение о том, что оно всегда существует - это аксиома выбора

Я кстати слегка проврался. Это утверждение очевидно эквивалентно аксиоме выбора если мы уже знаем, что отношение эквивалентности разбиавает носитель на классы.

Xo4y3HaTb
Важно что существование $f$ надо доказывать. Можете попытаться, но это нетривиально. Поэтому Вам советуют и не пытаться.

[Xo4y3HaTb]

Хорошо. Я пока опущу вопрос про док-во$f$ (чувствую что плыву). Допустим я докажу через отображение $g$, которое Вы посоветовали использовать. Почему я не должен буду доказывать существование такого отображения точно также как для$f$?

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1689102 писал(а):

Почему я не должен буду доказывать существование такого отображения точно также как $f$?

Должны. Но его существование доказать куда проще.