Отношение эквивалентности

[Xo4y3HaTb]

Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами множества позволяет представить это множество в виде объединения непересекающихся классов эквивалентных элементов.
Пусть $R\subset X^2$ - отношение эквивалентности, а $X'$ - область определения и значения $R$. Подскажите, пожалуйста, о каком мн-ве идёт речь в условии задачи $X$ или $X'$?

(Оффтоп)

Постоянно выкидывает с аккаунта пока набираю текст. Возможно, потому что часто нажимаю предпросмотр. Есть ли какое-то решение?

[dgwuqtj]

Докажите, что у отношения эквивалентности области определения и значения совпадают с $X$.

(Оффтоп)

Вы же выбираете галочку "Автоматически входить при каждом посещении"?

[Xo4y3HaTb]

dgwuqtj в сообщении #1688864 писал(а):

Докажите, что у отношения эквивалентности области определения и значения совпадают с $X$.

Я думал, что это вообще говоря не верно. Пусть $X=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5\rbrace, R=\lbrace (1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (1,2)\rbrace$ - отношение эквивалентности. $X'=\lbrace 1, 2, 3\rbrace$ - область определения и значения $R$ не совпадающая с $X$. $R\subset X'^2\subset X^2$

(Оффтоп)

Спасибо! Теперь буду ставить галочку!

[drzewo]

$x\sim x$

[Dedekind]

Xo4y3HaTb
Область определения необходимо задействовать полностью. Такого как Вы написали быть не может.

[Xo4y3HaTb]

Dedekind в сообщении #1688871 писал(а):

Область определения необходимо задействовать полностью. Такого как Вы написали быть не может.

Разве у меня область определения не задействована полностью? Каждый элемент моей области определения $X'$ принадлежит множеству первых элементов упорядоченных пар составляющих моё отношение $R$. Аналогично с областью значений.

[dgwuqtj]

Xo4y3HaTb
Напишите тогда определение отношения эквивалентности.

[Xo4y3HaTb]

Отношение эквивалентности это отношение (а отношение это любое мн-во упорядоченных пар) обладающее тремя свойствам рефлексивность, симметричность, транзитивность. Отношение рефлексивно, если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента $a$ из области определения отношения $R$ выполнено $aRa$.

[dgwuqtj]

Обычно в определении требуют, чтобы областью определения было всё $X$. При вашем определении в задаче речь идёт о $X'$.

[Xo4y3HaTb]

dgwuqtj
Понял. Спасибо! Так и пытался решать.

[Xo4y3HaTb]

Подскажите, пожалуйста, верно ли доказал? Пусть $R\subset X^2$ - отношение эквивалентности и $X'$ - область определения и значений $R$. Пусть $(f: X'\to X)\wedge (\forall x_1,x_2\in X' x_1Rx_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2))$. Тогда $(X'=\underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X})\wedge (\underbrace{\cap f^{-1}(x)}_{x\in X}=\varnothing)$
Пусть $x'\in X'\Rightarrow \exists x\in X (f(x')=x)\Rightarrow x'\in f^{-1}(x)\Rightarrow x'\in \underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X} $. Пусть $x'\in \underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X}\Rightarrow \exists x\in X x'\in f^{-1}(x)\subset X'\Rightarrow x'\in X'$. Следовательно $X'=\underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X}$.
Если $\forall x\in X x=const$, то слой один и о пересечении говорить некорректно(?). Пусть $\exists x_1,x_2\in X x_1\neq x_2$ и $\underbrace{\cap f^{-1}(x)}_{x\in X}=C $. Тогда $\exists c\in C (f(c)=x_1)\wedge (f(c)=x_2)\Rightarrow f -$ не отображение. Противоречие.

(Оффтоп)

Подскажите, пожалуйста, как правильно писать условия прям под знаками объединения и пересечения? Чтоб не было фигурных скобок.

[drzewo]

Xo4y3HaTb
скажите , а по какому учебнику Вы учитесь, просто интересно, где отношение эквивалентности не определено на всем $X$?

[Xo4y3HaTb]

drzewo
Математический Анализ В.А. Зорич

[drzewo]

Xo4y3HaTb в сообщении #1688956 писал(а):

drzewo
Математический Анализ В.А. Зорич

Прикольно. Это, видимо, к Padawan
это он у нас тут всякие странности из этого учебника коллекционирует

-- 05.06.2025, 11:39 --

я бы Вам советовал взять другую книжку, что-то действительно в учебнике Зорича многовато всего

[Xo4y3HaTb]

drzewo
Мне очень нравится этот учебник! Возможно, странностей я не замечаю, т.к. это мой первый учебник, но зато я замечаю прогресс. Потому продолжу изучение по нему. Но спасибо за совет! ;)