2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 19:08 


14/04/20
108
Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами множества позволяет представить это множество в виде объединения непересекающихся классов эквивалентных элементов.
Пусть $R\subset X^2$ - отношение эквивалентности, а $X'$ - область определения и значения $R$. Подскажите, пожалуйста, о каком мн-ве идёт речь в условии задачи $X$ или $X'$?

(Оффтоп)

Постоянно выкидывает с аккаунта пока набираю текст. Возможно, потому что часто нажимаю предпросмотр. Есть ли какое-то решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 19:14 
Заслуженный участник


07/08/23
1512
Докажите, что у отношения эквивалентности области определения и значения совпадают с $X$.

(Оффтоп)

Вы же выбираете галочку "Автоматически входить при каждом посещении"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 19:36 


14/04/20
108
dgwuqtj в сообщении #1688864 писал(а):
Докажите, что у отношения эквивалентности области определения и значения совпадают с $X$.

Я думал, что это вообще говоря не верно. Пусть $X=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5\rbrace, R=\lbrace (1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (1,2)\rbrace$ - отношение эквивалентности. $X'=\lbrace 1, 2, 3\rbrace$ - область определения и значения $R$ не совпадающая с $X$. $R\subset X'^2\subset X^2$

(Оффтоп)

Спасибо! Теперь буду ставить галочку!

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 19:46 


21/12/16
1726
$x\sim x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 20:06 
Заслуженный участник


23/05/19
1446
Xo4y3HaTb
Область определения необходимо задействовать полностью. Такого как Вы написали быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 20:32 


14/04/20
108
Dedekind в сообщении #1688871 писал(а):
Область определения необходимо задействовать полностью. Такого как Вы написали быть не может.

Разве у меня область определения не задействована полностью? Каждый элемент моей области определения $X'$ принадлежит множеству первых элементов упорядоченных пар составляющих моё отношение $R$. Аналогично с областью значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 20:36 
Заслуженный участник


07/08/23
1512
Xo4y3HaTb
Напишите тогда определение отношения эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 20:51 


14/04/20
108
Отношение эквивалентности это отношение (а отношение это любое мн-во упорядоченных пар) обладающее тремя свойствам рефлексивность, симметричность, транзитивность. Отношение рефлексивно, если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента $a$ из области определения отношения $R$ выполнено $aRa$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 21:13 
Заслуженный участник


07/08/23
1512
Обычно в определении требуют, чтобы областью определения было всё $X$. При вашем определении в задаче речь идёт о $X'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение04.06.2025, 21:23 


14/04/20
108
dgwuqtj
Понял. Спасибо! Так и пытался решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение05.06.2025, 10:03 


14/04/20
108
Подскажите, пожалуйста, верно ли доказал? Пусть $R\subset X^2$ - отношение эквивалентности и $X'$ - область определения и значений $R$. Пусть $(f: X'\to X)\wedge (\forall x_1,x_2\in X' x_1Rx_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2))$. Тогда $(X'=\underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X})\wedge (\underbrace{\cap f^{-1}(x)}_{x\in X}=\varnothing)$
Пусть $x'\in X'\Rightarrow \exists x\in X (f(x')=x)\Rightarrow x'\in f^{-1}(x)\Rightarrow x'\in \underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X} $. Пусть $x'\in \underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X}\Rightarrow \exists x\in X    x'\in f^{-1}(x)\subset X'\Rightarrow x'\in X'$. Следовательно $X'=\underbrace{\cup f^{-1}(x)}_{x\in X}$.
Если $\forall x\in X   x=const$, то слой один и о пересечении говорить некорректно(?). Пусть $\exists x_1,x_2\in X x_1\neq x_2$ и $\underbrace{\cap f^{-1}(x)}_{x\in X}=C $. Тогда $\exists c\in C (f(c)=x_1)\wedge (f(c)=x_2)\Rightarrow f -$ не отображение. Противоречие.

(Оффтоп)

Подскажите, пожалуйста, как правильно писать условия прям под знаками объединения и пересечения? Чтоб не было фигурных скобок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение05.06.2025, 10:35 


21/12/16
1726
Xo4y3HaTb
скажите , а по какому учебнику Вы учитесь, просто интересно, где отношение эквивалентности не определено на всем $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение05.06.2025, 10:36 


14/04/20
108
drzewo
Математический Анализ В.А. Зорич

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение05.06.2025, 10:39 


21/12/16
1726
Xo4y3HaTb в сообщении #1688956 писал(а):
drzewo
Математический Анализ В.А. Зорич

Прикольно. Это, видимо, к Padawan
это он у нас тут всякие странности из этого учебника коллекционирует

-- 05.06.2025, 11:39 --

я бы Вам советовал взять другую книжку, что-то действительно в учебнике Зорича многовато всего

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение эквивалентности
Сообщение05.06.2025, 10:44 


14/04/20
108
drzewo
Мне очень нравится этот учебник! Возможно, странностей я не замечаю, т.к. это мой первый учебник, но зато я замечаю прогресс. Потому продолжу изучение по нему. Но спасибо за совет! ;)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group