Два вопроса по матрице плотности

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1688557 писал(а):

этом же примере можем перейти "на язык вероятностей". Допустим, среди всех $N\gg 1$ результатов измерений результат $G_1$ встречается $n_1$ раз, результат $G_2$ встречается $n_2$ раз, и т.д. (индекс, нумерующий различные значения $G,$ пишу снизу; среди чисел $n_r$ могут быть и равные нулю - если соответствующие им значения $G_r$ вообще не обнаруживаются). Тогда то же самое среднее арифметическое можно переписать так:

$$\langle G \rangle = \frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N G^k=\frac{1}{N}\,\sum_r n_r\,G_r=\sum_r w_r\,G_r\,,$$

где $w_r=\dfrac{n_r}{N}$ есть экспериментальная оценка для вероятности значения $G_r\,.$

В общем-то тут почти все сказано... Дополню лишь результатом полученным Шеннном (возможно Колмогоровым). Если у нас есть источник (у Шеннона был информации) состояний из множества $\Omega=\{s_1, s_2,\dots,s_n\}$ и вероятностная мера на этом множестве $\mu = \{p_i | i=1 \div n\}$, и пусть нам источник выдает некоторую последовательность состояний $s=s_{i_1}\dots s_{i_N}$, то с вероятностью почти 1 ($1-\varepsilon$) любая последовательность длиной $N(\varepsilon, \delta;\mu)$ будет принадлежать пространству типичных последовательностей, т.е. таких состояний, что $\forall_{i\in 1 \div n}\exists_{\delta(\varepsilon;\mu)}\exists_{N(\varepsilon,\delta;\mu)}\left|\frac{\# s_i}{N}-p_i\right|<\delta$; причем пространство типичных последовательностей экспотенциально меньше чем полное простраство последовательностей... Или другими словами любая достаточно длинная реализация источника выдаст типичную последовательность, приближающуюся я к "истинному" ансамблю состояний источника, и усреднение по ней даст близкое значение наблюдаемой, чем неявно и воспользовался автор учебника... Подробности можно читать тут https://www.inference.org.uk/itprnn/book.pdf 4 глава

[Cos(x-pi/2)]

chislo_avogadro, Вы формулу для "смеси" не написали, поэтому непонятно, какие веса куда и как конкретно считаете зашитыми.

В коэффициенты $a_n(t)$ веса не зашиты, и волновые функции $\psi=\sum_n a_n(t)\,\phi_n$ состояний системы, заключённой в конечный объём $V,$ считаются нормированными на единицу, т.е. выполняются равенства:

$$\int dq\, | \psi|^2=1\quad \text{и}\quad \sum_n |a_n(t)|^2 = 1\,.$$

Как члены ансамбля в статистической механике такие волновые функции и их коэффициенты $a_n(t)$ получают ещё номер $k$ (в книге, которую изучает ТС, этот номер пишется в виде верхнего индекса), при этом указанные нормировочные равенства продолжают выполняться отдельно для каждого значения $k=1,\,2,\,...,\,N.$

Вот, на всякий случай, дописал до конца последний примерчик из своего предыдущего поста:

Разложения актуальных в этом примерчике двух волновых функций по в. ф. стационарных состояний (конечно же тривиальные, так как пример умышленно взял очень простой) имеют вид:

$$\psi_0=\sum_n a_n\,\phi_n\,,\qquad \text{где}\quad a_n\,=\,\delta_{n0}\,\exp(-iE_0t/\hbar)\,,$$

$$\psi_1=\sum_n b_n\,\phi_n\,,\qquad \text{где}\quad b_n\,=\,\delta_{n1}\,\exp(-iE_1t/\hbar)\,.$$

Пусть оказалось, что атом в многократных измерениях какой-то физ. величины $\hat{G}$ дал $n_0$ раз результат $G_{00},$ свойственный состоянию $\psi_0,$ причём результат $G_{11},$ свойственный состоянию $\psi_1,$ получился $n_1$ раз, и полное число измерений было $N=n_0+n_1.$

Подчеркну ещё раз: в определении матрицы плотности $\rho_{mn}=\frac{1}{N}\sum_k a_m^k\,a_n^{k*}$ индекс $k$ нумерует все результаты измерения в ансамбле, а не только различающиеся результаты, $k=1,\,2,\,...,\,N.$ Поэтому величина, обозначенная там как $a_m^k\,a_n^{k*},$ в данном примерчике принимает $n_0$ раз значение $a_m\,a_n^*,$ и принимает $n_1$ раз значение $b_m\,b_n^*,$ то есть:

$$\rho_{mn}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N a_m^k\,a_n^{k*}=\frac{n_0}{N}\,a_m\,a_n^*+\frac{n_1}{N}\,b_m\,b_n^* = w_0\,\delta_{m0}\, \delta_{n0}+w_1\,\delta_{m1}\, \delta_{n1}\,,$$

где $w_0=n_0/N$ и $w_1=n_1/N$ -- эти величины можно интерпретировать как найденные в данной экспериментальной реализации ансамбля оценки вероятности: $w_0$ - обнаружить атом в состоянии $\psi_0,$ $w_1$ - обнаружить атом в состоянии $\psi_1.$

Для $\langle G \rangle$ в этом примерчике получается:

$$\langle G \rangle = \operatorname{Tr}(\hat{\rho} \hat{G}) = \sum_m\sum_n\rho_{mn}G_{nm} = w_0\,G_{00}+w_1\,G_{11}\,.$$

Это был рассказ экспериментатора, т.е. - "как экспериментатор может подобраться к теоретическим понятиям посредством вспомогательных соображений". Здесь есть нюансы: например, понятно, что если повторять снова по $N$ штук таких же опытов, то повторные реализации одной и той же постановки опыта не обязаны точно воспроизводить друг друга - в этих других реализациях ансамбля с конечным $N$ могут получаться какие-то немножко другие экспериментальные значения $n_0,$ $n_1$ и $\langle G \rangle .$ (Об этом выше напомнил pppppppo_98.)

В окончательной формулировке теории полагают $N\to\infty$ и считают, что в таком пределе величины типа $w_n=n_n/N$ и $\langle G \rangle$ стремятся к определённым значениям, зависящим от заданной физики в постановке опыта, но не от "номера реализации" самого бесконечного ансамбля при одной и той же постановке опыта.

В частности, для канонического ансамбля (физика при этом такая: система с заданным числом частиц в заданном объёме, с энергетическим спектром $E_n,$ пребывает в равновесии с термостатом при температуре $1/\beta)$ теория предсказывает вероятности

$$w_n=\frac{1}{Q}\,e^{-\beta E_n},\quad \text{где}\quad Q=\sum_n e^{-\beta E_n}.$$

Здесь $n$ - мультииндекс, т.е. совокупность всех квантовых чисел, определяющих стационарное состояние $\psi_n$ системы. Суммирование в $Q$ идёт по всем значениям квантовых чисел, а не по различным значениям энергии только; т.е. каждое значение $e^{-\beta E}$ входит в сумму столько раз, какова кратность вырождения данного значения $E.$ Соответственно, $w_n$ здесь это вероятность обнаружить систему в состоянии с данным $n.$ Вероятность же обнаружить систему с данным значением энергии $E=E_n$ получается умножением $w_n$ на кратность вырождения $g_n$ этого уровня энергии $E.$

[Enceladoglu]

Cos(x-pi/2)
Спасибо, идея понятна.
Но получается, что в классическом случае у нас в ансамбле встречается каждая система один раз (там кажется задают плотность вероятности), а в квантовом - несколько ?
И $N$ тогда нужно интерпретировать для классического как все микросостояния, а для квантового - как количество измерений ? Причем первое просто большое, а второе может даже бесконечным быть..

[Enceladoglu]

chislo_avogadro
Это был бы кстати выход, но нет. Там просто раньше написано что функции нормированы на единицу

Cos(x-pi/2) в сообщении #1688684 писал(а):

$$\int dq\, | \psi|^2=1\quad \text{и}\quad \sum_n |a_n(t)|^2 = 1\,.$$

Кстати кроме этого, точку зрения Cos(x-pi/2) там подкрепляет еще следующий фрагмент уже из следующего параграфа (тут про микроканонический ансамбль):
"Ситуацию, соответствующую случаю $\Gamma = 1$, обычно называют чистым случаем. В таком случае построение ансамбля по сути излишне, поскольку каждая система в ансамбле должна находиться в одном и том же состоянии. Соответственно, существует только один диагональный элемент $\rho_{nn}$ который отличен от нуля (фактически равен единице), а все остальные равны нулю"
Т.е. для микроканоничиского ансамбля, даже если кол-во микросостояний один, то в ансамбле все равно много систем. Т.е. тут кол-во элементов в ансамбле - это просто большое кол-во измерений. Если я правильно понимаю, то для классического случая ансамбль не так определяют.

Вообщем заключительный вопрос по первому вопросу:

pppppppo_98 в сообщении #1688656 писал(а):

, приближающуюся я к "истинному" ансамблю состояний источника, и усреднение по ней даст близкое значение наблюдаемой, чем неявно и воспользовался автор учебника..

Cos(x-pi/2) в сообщении #1688684 писал(а):

Здесь есть нюансы: например, понятно, что если повторять снова по $N$ штук таких же опытов, то повторные реализации одной и той же постановки опыта не обязаны точно воспроизводить друг друга - в этих других реализациях ансамбля с конечным $N$ могут получаться какие-то немножко другие экспериментальные значения

А можно что бы не мучатся с этим, просто ввести вероятность каждой волновой функции системы ансамбля ? Условно $W_k$
И тогда матрица плотности $\rho_{mn} = \sum\limits_k W_k a_n^k \overline{a_m^k}$, а среднее какой то величины $ <\hat{G}> = \sum\limits_k W_k \int \overline{\psi^k}\hat{G}\psi^kd\tau$. Тогда в квантовом ансамбле будут просто все возможные волновые функции которые описывают нашу систему, а не результаты измерений, т.е. будет как в классическом ансамбле (Опять же, я понимаю ансамбль для классического случая как число микросостояний а не измерений, если это не так поправьте меня). Ну и тогда в вышеприведенном примере микроканоничекого ансамбля уже будет только один элемент. Если так можно то это распространненый подход или делают только так как в книге ?
Просто я думаю что при измерениях невозможно определить к какой волновой функции принадлежала система, а только например ее энергию например. Если собственные функции энергии $\varphi_n$, то определя энергию мы все равно никак не поймем к какой волновой функции относилась система так как она есть суперпозиция $\psi^k (t) = \sum_n a_n^k(t)\psi_n$. Хотя я понимаю что это все математическая условность. Да и что вообще эта волновая функция системы ансамбля такое в общем случае? Это всевозможные решения уравнения Шредингера с данным гамильтонианом ?
Начали про матрицу плотности, закончили определением ансамбля


Кстати, нашел в немецкий лекциях каких-то что то похоже.. но не более чем похожее

Потому что для матрицы плотности кажется что $\rho_{nn} \ne W_n $
Стоп, или то ?
В моем учебнике просто есть выражение $\hat{\rho} = \sum\limits_n |\varphi_n> \rho_{nn} <\varphi_n| $
А тут в лекциях, если переписать в наших обозначениях $ \hat{\rho} = \sum\limits_k |\psi^k> W_k <\psi^k| $

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1688690 писал(а):

Но получается, что в классическом случае у нас в ансамбле встречается каждая система один раз (там кажется задают плотность вероятности), а в квантовом - несколько ?

кир вам сказал... семпоирование не хависит от того упрвлется ли система квантовой динамикой или классической... у вас в классической системе может быть тоже любое распределение вероятности индивидуальных семплов (мгновенных реализации системы), не обязательно равномерное распределение, как в микроканоническом ансамбле

Enceladoglu в сообщении #1688726 писал(а):

.е. для микроканоничиского ансамбля, даже если кол-во микросостояний один, то в ансамбле все равно много систем. Т.е. тут кол-во элементов в ансамбле - это просто большое кол-во измерений. Если я правильно понимаю, то для классического случая ансамбль не так определяют.

ниърена не понял... берем поляризатор и лазер... вы эту систему можете хоть квантово хотб классически рассматриваьть на выходе одно состояние.. а как по авшему в классическом каноническом ансамблк определяют?

-- Ср июн 04, 2025 00:09:46 --

Enceladoglu в сообщении #1688726 писал(а):

А можно что бы не мучатся с этим, просто ввести вероятность каждой волновой функции системы ансамбля ? Условно $W_k$
И тогда матрица плотности $\rho_{mn} = \sum\limits_k W_k a_n^k \overline{a_m^k}$

можно но не так ....итак пусть у вас источник реализует состояния чистые состояния () $|\psi\rangle_i$ (причем не обязательно ортгоналные) с вероятностью $p_i$ (\sum_i p_i = 1$) в некотором гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$.... Тогда этот источник описывается матрицей плотности $\rho=\sum_i p_i |\psi\rangle_i \langle \psi|_i$. Это называется смешанным состояние - это положительно полуопределенная эрмитова матрица со следом равным 1 Чем это определение отличается от вашего - а тем что я изначально не делаю никаких предположение относительно какого-то базиса... Множество смешанных состояний образует выпуклое множество ($\forall_{0\le\lambda\le 1}\rho=\lambda \rho_1 +(1-\lambda)\rho_2$ - тоже смешанное состояние). Ну и поелику смешанное состояние эрмитова матрица, то ее можно привести к базису, в котором она диагональна. Опять таки в чем отличие этого базиса от вашего выражение, в том что вы изначально предполагете о наличии некотрого полного базиса (прибора) , в котором в дальнейшем будут проводится измерения. У меня же базис диагонализации - какой вышео такой вышел - он не совпадает с выделенным приборным... В целом вот и все определения

Enceladoglu в сообщении #1688726 писал(а):

Просто я думаю что при измерениях невозможно определить к какой волновой функции принадлежала система, а только например ее энергию например.

и то верно...если следовать копенгагенской трактовке, и вы измеряли энергию, то после измерения система и будет находится в состоянии (волновой функции) выбранной энергии . Если состояние с данной энергией вырождено, то в одном и из бесконечного множества волновых функций

[Enceladoglu]

pppppppo_98 в сообщении #1688735 писал(а):

а как по авшему в классическом каноническом ансамблк определяют?

Enceladoglu в сообщении #1688726 писал(а):

Опять же, я понимаю ансамбль для классического случая как число микросостояний а не измерений

Я думал в класическом случае ансабль это кол-во всевозможных микросостояний системы, которые удовлетворяют заданным условием. А вероятность каждого из них мы просто задаем отдельно. Или в классическом случае мы тоже ансамбль представлем как огромное кол-во измерений ?

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1688778 писал(а):

А вероятность каждого из них мы просто задаем отдельно. Или в классическом случае мы тоже ансамбль представлем как огромное кол-во измерений ?

чо то в гоове у вас намешано - состояния, измерения. Так есть какая-то многочастичная система, она находится в каком-то состяонии - не важно классическая или квантовая. Как ее описать, если нам почти ничего неизвестно о системе - а давайте примем , что система с вероятность 1/N находится в одном из N типичных микросостояний, которые характеризуюся несколькими макропеременными (давдение, температура , плотность и т.д.). Это и есть канонический ансамбль. Как это проверить, что это так - а давай представительные семплы брать и измерять эти макрохарактеристики, не важно классические или квантовые измерения.

[Enceladoglu]

pppppppo_98
Вообщем, да. Я коряво понимал определение ансамбля, спасибо. Тоесть как в квантовом так и в классическом случае в ансамбле есть несколько систем в одинаковых микросостояниях.

А что можете сказать насчёт второго вопроса?

Enceladoglu в сообщении #1688147 писал(а):

2)Тут вопрос такой
"В любом другом представлении кроме энергетического, матрица плотности может быть и не диагональной . Однако, в общем случае, она будет симметричной:
$\rho_{mn} = \rho_{nm}$
Физическая причина этой симметрии заключается в том, что в статистическом равновесии тенденция физической системы переходить из одного состояния (в новом представлении) в другое должна быть уравновешена столь же сильной тенденцией переключаться между теми же состояниями в обратном направлении. Это условие детального баланса необходимо для поддержания равновесного распределения внутри ансамбля."
То что она эрмитова это понятно. Как можно доказать что в тепловом равновесии матрица плотности симметрична ?

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1689267 писал(а):

Как можно доказать что в тепловом равновесии матрица плотности симметрична ?

Берешь третью книгу бытия и смотришь симметрию обращения во времени, затем модифицируегь эту процедуру для матрицы

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1689267 писал(а):

Как можно доказать что в тепловом равновесии матрица плотности симметрична ?

Берешь третью книгу бытия и смотришь симметрию обращения во времени, затем модифицируегь эту процедуру для матрицы

[Enceladoglu]

pppppppo_98
Параграф 60 в ЛЛ?

[Enceladoglu]

pppppppo_98
Там кажется мало полезной информации, за исключением того что в случае безспиновой частицы функция обращения во времени есть просто сопряженная.
Я был бы доволен доказательством для такого частного случая. А если $\psi = \sum a_n \varphi_n$ и $\overline{\psi} = \sum b_n \varphi_n$, то можно как то выразить коэфициенты $b_n$ серез $a_n$ ? Если можно то у меня есть идея для доказательства

[pppppppo_98]

Enceladoglu в сообщении #1689356 писал(а):

Параграф 60 в ЛЛ?

вы зря его не прочли - там есть отсылка на 18 стих

[chislo_avogadro]

Enceladoglu в сообщении #1688726 писал(а):

chislo_avogadro
Это был бы кстати выход, но нет. Там просто раньше написано что функции нормированы на единицу

Как я понял, в стартовом посте речь идёт о волновых функциях систем, составляющих ансамбль, а на Вашем скриншоте - об описании смешанного состояния отдельной системы. Во втором случае без весов не обойтись, а в первом, судя по разъяснениям в теме, их отдельно вводить не нужно - они появляются при суммировании и имеют там иной смысл. Просто это разные ситуации.

Кстати, судя по

Enceladoglu в сообщении #1688147 писал(а):

$\psi^k$ - это волновая функция $k$-ой системы ансамбля.

системы ансамбля предполагаются находящимися в чистых состояниях.